数学妙想奇思:口香糖问题
口香糖问题
a.琼斯太太竭力想快点走过那个口香糖售货机,以免她的双胞胎看到。
第一个孩子:妈,我想要口香糖。
第二个孩子:妈,我也要,我要和比利一样的。
b.口香糖售货机差不多空了,没法知道下一个糖球是什么颜色,琼斯太太要想得到两个同样的糖球,她必须准备花多少钱?
c.琼斯太太可以花6便士买2个红球——其中4便士买所有的白球,另2便士买一对红球;或者花8便士买2个白球。所以她必须准备8便士,对吗?
d.错了。如果头两个球颜色不一样,那么第三个球必与其一相配,所以3便士就足够了。
e.现在假设机器中有6个红球,4个白球,5个蓝球,你能算出琼斯太太需花多少钱能买一对同样的球吗?
f.如果史密斯太太带着她的三胞胎从同一个口香糖售货机旁过,你仔细想想,你认为4便士够吗?
g.这次售货机中有6个红球,4个白球和一个蓝球,史密斯太太要花多少钱能买三个一样的球?
需要多少钱?
第二个口香糖问题是第一个口香糖问题的简单变化。可以用同样的思路来解决。在这个问题中,取头三个球可能是不同颜色——红色、白色和蓝色。这是没有达到预想结果的最长排列,第四个球一定与前三个球中的一个相同。所以只要买4个球必能得到相同的一对球,琼斯太太要准备4便士。
总之,对于n组球,每组一种颜色,就应准备买n+1个球。第三个问题比较难,史密斯太太是三胞胎而不是双胞胎,口香糖售货机中有6个红球,4个白球和1个蓝球,她得花多少钱才能买到3个同样的球?
同上,我们首先要考虑最坏的情况,史密斯太太买到2个红球,2个白球和唯一的蓝球,总共5个红球,第6个球肯定是红球或白球。所以要使三胞胎都得到同样颜色的球,答案是6便士。假如蓝球不只一个,她每种颜色先抽2个,那么第7个球就能满足三胞胎的要求。
噢!关键在于最“坏”情形的长。有人可能想通过给这11个球标上字母来解决这个问题,然后检查所有可能排列,看看在出现三个同样球的排列中哪个是最长的。但是这种解决办法需列出ll!=3931680O种排列,即使同样颜色的球不用字母区分,也要列出2310种排列。
总之,要抽取k个同色球的方法如下:有n组球(每组一个颜色,每组至少k个),那么要得到k个同色球必须抽取n(k--1)+1个球。你肯定还想研究一组球或多组球的球数少于k的情形。
这种问题的模式也能用于其它方面。例如,你要从52张牌中抽取7张同花色的牌,你要抽几次?这里n=4,k=7,公式给出的答案是:4(7--1)+1=25。尽管这是些简单的组合问题,但引出了有趣而复杂的概率问题。比如.你从n张牌中抽取7张牌(n从7到24),每次抽取后不再放回(显然,假如抽的张数小于7概率为0,如抽取25张以上概率为1),同花色的概率是多少?如果抽取的牌再放回经冼脾后再抽概率又是多少?一个更难的问题是:无论牌是否放回,获得同花色牌的期望值(概率的平均值)是多大呢?
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