2015高考数学集合与简易逻辑知识要点
(一) 集合
1. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法.
集合元素的特征:确定性、互异性、无序性.
集合的性质:
①任何一个集合是它本身的子集,记为 ;
②空集是任何集合的子集,记为 ;
③空集是任何非空集合的真子集;
如果 ,同时 ,那么A = B.
如果 .
[注]:①Z= {整数}(√) Z ={全体整数} (×)
③ 空集的补集是全集.
3. ①{(x,y)|xy =0,x∈R,y∈R}坐标轴上的点集.
②{(x,y)|xy<0,x∈R,y∈R 二、四象限的点集.
③{(x,y)|xy>0,x∈R,y∈R} 一、三象限的点集.
[注]:①对方程组解的集合应是点集.
例: 解的集合{(2,1)}.
②点集与数集的交集是 . (例:A ={(x,y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则A∩B = )
4. ①n个元素的子集有2n个. ②n个元素的真子集有2n -1个. ③n个元素的非空真子集有2n-2个.
5. ⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 否命题 逆命题.
②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题 逆否命题.
例:①若 应是真命题.
解:逆否:a = 2且 b = 3,则a+b = 5,成立,所以此命题为真.
② .
解:逆否:x + y =3 x = 1或y = 2.
,故 是 的既不是充分,又不是必要条件.
⑵小范围推出大范围;大范围推不出小范围.
2. 例:若 .
3. 集合运算:交、并、补.
4. 主要性质和运算律
(1) 包含关系: (2) 等价关系: (3) 集合的运算律:
交换律:
结合律:
分配律:. 0-1律: 等幂律: 求补律:A∩CUA=φ A∪CUA=U eCUU=φ eCUφ=U
反演律:CU(A∩B)= (CUA)∪(CUB) CU(A∪B)= (CUA)∩(CUB)
(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1.整式不等式的解法
根轴法(零点分段法)
①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式,并将各因式x的系数化“+”;(为了统一方便)
②求根,并在数轴上表示出来;
③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点(为什么?);
④若不等式(x的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间;若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.
(自右向左正负相间)
则不等式 的解可以根据各区间的符号确定.
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论;
②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的讨论.
二次函数
( )的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
2.分式不等式的解法
(1)标准化:移项通分化为 >0(或 <0); ≥0(或 ≤0)的形式,
(2)转化为整式不等式(组) 3.含绝对值不等式的解法
(1)公式法: ,与 型的不等式的解法.
(2)定义法:用“零点分区间法”分类讨论.
(3)几何法:根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
4.一元二次方程根的分布
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
(1)根的“零分布”:根据判别式和韦达定理分析列式解之.
(2)根的“非零分布”:作二次函数图象,用数形结合思想分析列式解之.
(三)简易逻辑
3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断
(1)“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反;
(2)“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真,其他情况时为假;
(3)“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假,其他情况时为真.
4、四种命题的形式:
原命题:若P则q; 逆命题:若q则p;
否命题:若┑P则┑q;逆否命题:若┑q则┑p。
(1)交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题;
(2)同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命题;
(3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题是逆否命题.
5、四种命题之间的相互关系:
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系:(原命题 逆否命题)
①、原命题为真,它的逆命题不一定为真。
②、原命题为真,它的否命题不一定为真。
③、原命题为真,它的逆否命题一定为真。
6、如果已知p q那么我们说,p是q的充分条件,q是p的必要条件。
若p q且q p,则称p是q的充要条件,记为p⇔q.
7、反证法:从命题结论的反面出发(假设),引出(与已知、公理、定理…)矛盾,从而否定假设证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。
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