切莫忽视一元二次方程中的隐含条件
一元二次方程问题是初中代数之重点,也是中考之热点。许多同学在解题时,由于对题目中的隐含条件重视不够,在平时作业或考试当中往往出现错解。现将常见的错误情况公布于众,以期引起广大师生的共同注意。
错误之一:忽视二次项系数不能为0
例1、已知关于的一元二次方程的两根为、。问:为何值时,?
误解:∵关于的一元二次方程的两根为、,根据题意,由求根公式得:
,
即,解得:
∴当时,。
分析:既然是一元二次方程,那么这里就有一个隐含条件,即,也就是;还有,方程中的一次项系数含有,这就意味着被开方数,即,这也是题目中的一个隐含条件,综合起来,即<,而上述解答中就忽视了这个条件。另外,既然方程有两个根,那么到底是两个相等的根还是两个不相等的根呢?这得由判别式来确定,所以还应求出判别式的值:,由于<,所以可判定>0,即方程
有两个不相等的实数根。而又因为,所以可判定,即,由韦达定理得:,又由于<,解得正确答案为:。
例2、关于的一元二次方程有两个实数根,求的值.。
误解:∵方程有两个实数根,∴Δ≥0,
即解之得
分析:,即时,原方程为一元一次方程。
所以,正确的答案应为<2,且。
错误之二:忽视负的平方根和算术平方根的非负性
例3、解方程:
误解:
∴,
∴,
∴
分析:此解错就错在由到,忽视了平方根还有一个负的,导致丢掉了一个解。
正确的解为:
∴,
∴
∴,
∴原方程的解为:,
例4、已知是方程的一根,求作以和为根的一元二次方程。
误解:把代入原方程,得。解之得:,。
⑴当时,,,∴所求的一元二次方程为;
⑵当时,,,∴所求的一元二次方程为。
分析:此解主要错在未考虑到这一问题。因而应舍去。
正解应为:所求的一元二次方程为。
错误之三:忽视结论的多解情况
例5、若关于x的方程只有一个解,试求的值与方程的解.
误解:将原方程化简,得
∴当时,原方程有唯一解
分析:将原方程化简,得:,应分为两种情况讨论。
①当时,原方程有唯一解;
②当时,方程
的判别式为:>0
∴方程
总有两个不同的实数根,按题设原方程只有一个解,因此必有一根是原方程的增根,从原方程知道,增根只可能是使即或.
显然,0不是的根,故是此方程的根。
将代入得:;
因为一根是,,所以由根与系数的关系可求出方程的另一根(应用两根之和或两根之积结果相同),为:,
∴当时,原方程也有唯一的解为.
例6、已知、分别满足和,则的值是多少?
误解:由题意可知、应是方程()的两个根,,
∵,∴△>0,
∴方程的两根不等,
根据韦达定理得:,,
∴
分析:既然、分别满足和,那么就有
这种情况,而上述解答看似很合理,却忽视了
这种情况。这其实是一个“陷阱”,应必须考虑到这种情况。
在时有上述结论存在,而当时,。
∴本题正确的解应为或2
那么弄丢这种存在情况的原因在哪里呢?
主要是在于把、视为方程()的两个根,这就自然而然地忽视了
这种情况的存在了,因为的判别式在的情况下>0,就没有的这种情况了。
错误之四:忽视二次方程的△的取值
例7、已知关于的二次方程的两个实数根的平方和为17,求的值。
误解:设方程的两个实数根为、,
由韦达定理得:,,
∴,即,
解得:,
分析:设方程的两个实数根为、,利用韦达定理求得:,,
再由两个实数根的平方和为17,得
解得:,
这样解看似合理的,但最关键的一点是忽视了
的判别式△的取值情况。
当时,<0
化简得,方程无实数根;
当时,>0,方程有实数根。故只取。
例8、已知、是方程的两实数根,且,求的值。
误解:根据题意由韦达定理得:,
∵,即,
∴。
解之得:,。
分析:解题时只注意到方程两根的等量关系,而忽视了方程有两个实根时Δ≥0这一先决条件,而当时△<0,故应当舍去。
∴正解应为。
错误之五:忽视对题目中关键词的辨析
例9、为何实数时,方程有实数根。
误解:要使方程有实数根,只需,即,
解之得:,又∵,∴,且。
分析:解法中对方程“有实根”和“有两个实根”未加以辨析,而当时,原方程为一元一次方程,也有实根,是。
所以此题错在误认为原方程一定是一元二次方程,而没想到也可以是一元一次方程。
∴正解为。
例10、、是方程的两实根,求的最小值。误解:由已知得,,
∴
∴当时,的最小值为1。
分析:解法中没有注意到有实根的意义和本质是什么,因而忽视了方程有两实根时这一前提条件。
∵当时,△<0,此时方程无实根,∴正解的解法还应当求出的取值范围。
∵原方程有两实根解,
∴,解得:,
∴当时,的最小值为
错误之六:忽视对根的符号的考察
例11、已知、是方程的两个实根。求的值。
误解:设,则,
由韦达定理得:,∴,∴。
分析:∵,,∴可知<0,且<0,
∴<0,故应当舍去。∴正确的解应当为。
例12、设方程的两根恰好是直角三角形两锐角的正弦值。求的值。
误解:设原方程两根为,则,;
又由题意知。
即,解之得,
而当时,△>0,∴。
分析:解法中考虑△>0是非常必要的,但是却忽视了为两锐角正弦值,应当满足0<<1,0<<1,即>0,>0。
而当时,<0,<0。故
应当舍去,正解为。
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