妙用规律性质巧解题
在竞赛辅导中,教师发现,有些数学竞赛题,只有通过运用数学规律与性质进行转化与处理,才能左右逢源,迅速解出准确结果,让解题者在强烈的满足成就感和兴奋感的促使下,趁胜出击,以争取更大的胜利。请看如下例题:
已知正数a,b,c,d,e,f,同时满足:,,,,,,则:a+b+c+d+e+f=__________。
解法一:由于与,与,
与分别互为倒数,所以:由得:a=4d,a=2d;
由得:b=16e,b=4e;
由,得:c=64f,c=8f;
由得:bcef=1;
由得:acdf=1;
由得:abde=1;
由得:cf=be,cf=be。将“c=8f和b=4e”代入cf=be得:8f=4e,2f=e,e=f。
由得:be=ad,be=ad。将“a=2d和b=4e”代入be=ad得:4e=2d, d=2 e,d=e=f=2f。
将前述计算结果“a=2d=2e=2f=4f,b=4e=4f=4f,c=8f,d=2f,e=f”代入中得:,f=
,f=,f=。
这样就有:a=2d=2e=2f=4f=4=,b=4e=4f=4f=4=2,c=8f=8=2,d=2f=2=,e=f==
a+b+c+d+e+f=+2+2+++==7.8025
检验:
解法二:由于给分式的分子和分母和同时乘以同一个不为零的数,分式的值大小不变,所以由得 abcdef=
;由得abcdef=
,由得abcdef=
;由得abcdef=2d
;由得abcdef=4e
;由得abcdef=8f
。可见:,a=16f,a=4f;,b=32f,b=4;
,c=64f,c=8f;2d=8f,d=4f,d=2f;4e=2f,e=。
这样就有:,64f=1,f=,f=
,f=
;a=4f=4=,b=4=4=2,c=8f=8=2,
d=2f=2=,e===。
a+b+c+d+e+f=+2+2+++==7.8025
解法三:由于给分式的分子和分母和同时乘以同一个不为零的数,分式的值大小不变:由于:“,,;,,”,所以:,a=;,b=2;,c=2;,d=,d=;
,;;
a+b+c+d+e+f=+2+2+++==7.8025
解法四:由“
=
”得“abcdef=1”。由于给分式的分子和分母同时乘以同一个不为零的数,分式的值大小不变,所以:,a=;
,b=2;
,c=2;
,d=;
,e=;
,f=。
a+b+c+d+e+f=+2+2+++==7.8025
想想看:您还有比上述更简单的解法吗?
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