韩信点兵和不定方程_数学家故事

韩信点兵和不定方程

和书的作者不详，但后来经过宋朝数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做“大衍求一术”。在中国还流传着这么一首歌诀：

三人同行七十稀，

王树梅花甘一枝，

七子团圆正半月，

除百零五便得知。

它的意思是说：将某数（正整数）除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止。所得结果就是某数的最小正整数值。

用这首歌诀来计算上面的“韩信点兵”问题，我们便得到以下的算式：

170+221+215=142，

142－105=37，

即这群士兵共有37名。

《孙子算经》上还有一道极其有名的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何。”用上面的歌诀来算，便得到算式：

270+321+215=233，

233－1052=23，

即所求物品最少是23件。

上面的“韩信点兵”问题，我们可以表示成方程或方程组。

设士兵共有m名。m除以3，5，7所得的商分别为x，y,z，那么由题意，有

韩信点兵和不定方程1

这是一个“未知数的个数（这里有m，x，y，z共4个）多于方程的个数（这里有3个）”的方程组。它可以合并成一个方程（将3个方程相加）

3x+5y+7z+5=3m。

这个方程中含有2个或2个以上的未知数。我们把这样的方程叫做不定方程，把前面这样的方程组叫做不定方程组。这个不定方程组还可以写成

3x+1=5y+2=7z+2=m

的形式。上面所例举的方程或方程组都有无限多个正整数解（这是因为方程或方程组本身没有ml00的限制，所以取m=37，37+105，37+1052，…代入方程组，就可以得到相应的各组x，y，z的值，例如

韩信点兵和不定方程2 韩信点兵和不定方程3 韩信点兵和不定方程4

等等，都是方程组的解）。也就是说，方程或方程组的解不都是唯一确定的，这便是“不定方程”和“不定方程组”中“不定”两字的由来。

我国著名的数学家华罗庚早在少年时代（上初中前）就求得了“物不知数”问题的答案。这类问题引起了他后来研究整数性质以至于“数论”的兴趣。外国数学界也很重视，并把“大衍求一术”称为“中国剩余定理”。

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★ 乘方运算

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