初中数学《锐角的三角函数值》教案
21.2锐角的三角函数值
一、教法设想:
通过同学们经常使用的三角板,让同学们计算一下,当A=30 A=45 由于同学们所使用三角板大小不一,但他(她)们求得的比值都是 和 ,这是为什么呢?
由相似三角形有关性质得出:在这些直角三角形中,锐角A取一个固定值,A的对边与斜边的比值仍是一个固定值,进而再引入正弦,余弦的概念,并向同学说明0 sinA 1, cosA 1(A为锐角).
再分别求出30,45,60特殊三角函数值并应用其进行计算,进一步研究任意锐角的正弦值与余角的余弦值关系.
根据30,45,60正、余弦值分析,引导同学归纳出:当角度在090间变化时,正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);当角度在090间变化时,余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大).
适时介绍正弦和余弦表的构造. 结合实例进行查表,知其角度查正弦值或余弦值,反之亦然. 正确处理好修正值.
对学有余力的学生,也可适当介绍“sin2A+ cos2A = 1”这一重要关系式.
在学习正弦、余弦的概念后,再进一步学正切、余切较容易,可仿正弦、余弦的教法进行,对学有余力的学生也可讲授 这些重要关系式.
在教学中对0,30,45,60,90的特殊角的三角函数值要求学生一定要熟记,为此,我们可分别列出表并编出口决让学生记易,省时易记.
表I:
三角函数 30 45 60
Sin
Cos
tg
口决:一,二,三,三,二,一,三九二十七.
表II.
三角函数 0 30 45 60 90
Sin
Cos
tg 0
1
──
ctg ──
1
口决:0,一,二,三,四带根号,比上2要记牢.
第二行左右倒,三,四行靠推导.
【指点迷津】
本单元锐角三角函数的引进,使形与数紧密结合为一体,开辟了数形结合的新航向. 因此,在本单元教学中,务必注意数形结合思维方法的引导,应用. 用其法解决生活中的实际问题. 达到得心应手.
二、学海导航:
【思维基础】
1. 锐角三角函数定义
Rt△ABC中,C= 90,AB= c,BC= a,AC= b, 则A的正弦,余弦,正切,余切分别是:SinA = ________ CosA =_______ tgA =________ CtgA= ________. 它们统称为A的锐角三角函数. (1)一锐角的三角函数值是四个_______;锐角三角函数都不可能取_________,且A为锐角时,SinA,CosA均在______~ ______内取值.
2. 特殊角的三角函数值(完成下表)
0 30 45 60 90 增减值
Sin
Cos
tg
ctg
3. 互余角间的三角函数关系,△ABC中,C= 90,A + B = 90,B =90-A,则有:
Sin(90-A) = ___________
Cos(90-A) = ___________
tg (90-A) = ___________
Ctg(90-A) = ___________.
4. 同角三角函数关系公式:(A为锐角).
(1)Sin2A + Cos2A = ___________; Cos2A = ___________, Sin2A = ____________.
【学法指要】
例1. 如果A为锐角,CosA= ,那么( )
A. 0 A B. 30 A
C. 45 A D. 60 A
思路分析:
当角度在0 90间变化时,余弦值随着角度的增大(或减少)而减小(或增大).
60 A 应选D
例2. 当45 X 时,有( )
A. Sin x Cos x tg x B. tg x Cos x Sin x
C. Cos x Sin x tg x D. tg x Sin x Cos x
思路分析: ∵ 45 x 取A = 60
, tg x Sin x Cos x
应选D
解选择题,采取特例法可出奇制胜,如本例取x = 60在45 x 的范围内,很快可知Sin 60,Cos 60,tg60的值,谁大谁小,相形见绌. 因之,在解决有关选择题时,根据题目的限制条件,灵活选取特殊值(也可画特殊图形,特殊点,特殊位置,特殊线等),可巧夺天工.
例3. 计算:
思咯分析:若a0时 , a0 = 1
对此项中的Sin36是一项干扰支. 迷惑同学们,因为Sin36,不是表内特殊值,求不出来,至使解题陷入僵局,其实不然. 不需要求Sin36之值,只需要知道 即可. 因而,解题时,必须善于排除干扰支,解除困惑,准确使用数学概念,正确求出答案,对于特殊角三角函数值的计算,一. 要准确无误代入三角函数值;二. 要按照实数的运算法则进行运算;三. 运算的结果必须是最简关系式. 于是对上式便一目了然了.
例4. 已知方程 的两根为 tg, ctg,求k和,(为锐角)
思路分析:∵tg, ctg为二次方程 的二根,根据与系数关系式,得
∵tg ctg=1 k = 1
原方程为
即tg= , ctg= 或 tg= , ctg =
故1=30 2 = 60
锐角三角函数与二次方程等有着千丝万缕的联系,各种知识交织在一起,因而必须把综合知识进行剖析,分解,然后各个击破,便可打通思路. 如本例,首先运用二次方程的有关知识──根与系数关系;再运用锐角三角函数的倒数关系求出K,又回到解一元二次方程来,解出二根,从中求出tg,ctg之值,再求出对应的之值,总之,善于剖析,化整为零,一个一个解决,对复杂的综合题便可攻破了.
例5. 在△ABC中,三边之比a:b:c = 1: :2,则SinA + tgA等于( )
A. B.
C. D.
思路分析:∵ a:b:c = 1: :2
可设a = k, b = k , c = 2k ( k 0 )
a2 + b2 = k2 + ( k)2= 4k2 = (2k)2 = c2
△ABC是直角三角形,且C= 90
根据三角函数定义,可知:
△ABC是直角三角形,且C= 90
根据三角函数定义,可知:
SinA + tg A
应选(A)
对于题设是以连比形式出现的,通常都是增设参数K,将未知转化已知,使问题明朗化,进而再研究三角形三边的关系,从而判定为直角三角 形,又转化为锐角三角函数问题,找到思路,这是解决此类问题的常用方法,而且又比较方便,请同学们今后遇到此类问题,可小试“牛刀”.
【思维体操】
例1. 已知AD是直角△ABC的斜边BC上的高,在△ADB及△ADC中分别作内接正方形,使每个正方形有两条边分别在DB,DA及DC,DA上,而两个正方形的第四个顶点E,F各在AB,AC上,求证:AE= AF.
揭示思路1:设ABC= . 正方形EMDG与正方形DNFH的边长分别为a , b
∵AD = AG + DG = atg + a
AD = AH + DH = bCtg+b
a tg + a = b ctg+b
= bctg= AH.
AE = AF
揭示思路2:
设BC = a , 且ABC=,则有
AB = a cos
同理:
AE = AF
由上两种思路证得AE= AF, 可发现用三角法研究几何问题,开门见山,直截了当,只要所给定的几何图形中有直角三角形. 便可应用锐角三角函数列出它们的边角关系式,再应用代数法计算一下,便可达到目的. 题设所给的问题中,未有给定直角三角形,只要能构造出直角三角形,同样也可转化为用三角法证解之,而且也比较方便,由此可见,用三角法证(解)几何问题为解几何问题又开拓了新的渠道. 为数与形结合提供了新的条件,我们应在这条新渠道不断探索,取得新的成果. 现沿这思路继续扩散.
扩散一:
如图,Rt△ABC中,有正方形DEFG,D,G分别在AB,AC上,E,F在斜边BC上,求证:EF2 = BEFC
揭示思路:从题设及图形中都可发现有直角三角形,所以用三角法证之比较顺畅.
在Rt△BDE中,
在Rt△GFC中,
∵B + C =90,tgB = tg(90- C) = ctgC
∵DE = GF = EF
EF2 = BECF
扩散二:
在△ABC外侧作正方形ABDM和ACEN, 过D,E向BC作垂线DF,EG,垂足分别为F,G,求证:BC = DF + EG
提示思路:观察图形可发现直角三角形DFB及直角三角形EGC. 便萌生用三角法证明,可是此时DF,EG比较分散. 设法作AHBC再构两个直角三角形,通过正方形为“媒介”,这样把DF,EG就有了联系. 此时,应用锐角三角函数定义建立边角关系,便可马到成功!
在Rt△EGC中,
EG = b cos
在Rt△DBF中,同理,DF = c cos(设b, c , ,如图)
EG + DF = b Cos + c cos
在 Rt△ABH中,BH = c cos
在 Rt△ACH中,CH = b cos
∵BC = BH + CH , BC = b cos + c cos
BC = EG + DF
扩散三:
设顶角A = 108的等腰三角形的高为h,A的三等分线及其外角的四等分线分别为P1,P2,求证:
揭示思路: 从图形中可发现有几个直角三角形存在,这个信息向我们提供用三角法证明是得天独厚的条件,不要犹豫,不然,将会失去良机.
如图,设△ABC的底边上的高AH = h , A的三等分线AD= P1, A的外角四等线AE = P2,BAC= 108,AB = AC,
DAH = 18
在Rt△ADH中,cos18
∵ CAE = (180-108)= 18
ACB = (180-108)= 36
AEC = 18
在Rt△AHE中,Sin18
扩散四:
已知:如BAC=90,ADBC,DEAB,DFAC,垂足分别为D、E、F.
求证:
揭示思路:本例直角三角形之多,用三角法证之更不宜迟,用锐角三角函数定义,列出边角关系,可十分巧妙就证得结论.
设ABC = ,则DAF = CDF=
扩散五:
在正方形ABCD中,AE平分BAC交BC于E,交OB于F,求证:EC = 20F
揭示思路:观察图形,图中有许多直角三角形,它启示我们用三角法作为“向导”,可直达目的地.
BEF = ACB + EAC = 45BAE
∵BFE= CAE, BEF = BFE,
BE = BF
进而可知AD = DF
设正方表ABCD边长为1,又设BAE = CAE =
则OA= OB =
在Rt△ABE中,BE = ABtg= BF
BF = OB-OF = OB - OAtg
ABtg= OB - OAtg
OF = OAtg= ( -1)
EC= BC-BE = 1-1tg= 1- +1 = 2 - = ( -1)
EC = 20F
应用锐角三角函数的定义研究几何问题;直观,又少添或不添设辅助线,充分发挥数的长处. 把几何问题通过锐角三角形边角关系,应用计算法,便可曲径通幽,柳暗花明. 同学们应加强这方面的学习,以拓宽几何证题思路.
三、智能显示
【动脑动手】
1. 在Rt△ABC中,C = 90,则SinB + CosB的值( )
(A)大于1 (B)小于1
(C)等于1 (D)不确定
2. 在△ABC中,它的边角同时满足下列两个条件;(1)SinC=1;(2)SinA,CosB是方程4x2-cx + 1 = 0的两个根,求a,b,c及S△ABC
3.证明:“从平行四边形ABCD的顶点A,B,C,D向形外的任意直线MN引垂线AA'BB'CC'DD'垂足是A'B'C'D'(如下图)
求证:AA' + CC'=BB' + DD',现将直线MN向上移动,使得A点在直线的一侧,B、C、D三点在直线的另一侧(如中图),这时,从A、B、C、D向直线MN作垂线,垂足为A'B'C'D',那么垂线放AA'BB'CC'DD'之间存在什么关系?如将直线MN再问上移动,使两侧各有两个顶点(如下图). 从A,B,C,D向直线MN作的垂线放AA'BB'CC'DD'之间又有什么关系?根据左图,中图,右图写出你的猜想,并加以证明.
揭示思路:1. 在Rt△ABC中,C= 90
由锐角三角函数定义,得
∵a + b c
SinB + CosB 1 , 应选A.
2. ∵SinC = 1 , C = 90
∵SinA + CosB = ,SinA CosB =
又A + B = 90, B = 90-A
CosB = Cos(90-A ) = SinA
c = 4 , A= 30, a = 2 , b =
3. 猜想如下:
对于中图有:CC'- AA'= BB'+ DD'
对于右图有:CC'- AA'= DD'- BB'
证法1. 如图,设AEA'= ,则AA'= AESin= (OA-OE)Sin= OASin-OESin,又CC'= CESin= (OC + OE ) Sin= (OA + OE ) Sin = OASin+ OESin
CC'- AA'= 2OESin
∵OO'= OESin, CC'- AA'= 2OO'
由题设知,OO为梯形BBDD的中位线.
BB'+ DD'= 2OO'
CC'- AA'= BB'+ DD'
(2)如图,仿(1)证法可得
CC'- AA'= 2OESin
DD'-BB = 2OFSin
∵OESin= OFSin,
CC'- AA'= DD'- BB'
证法二:(1)延长CB交MN于E,设AD与MN交于F, 又设AFA'= ,则BEB'= ,在Rt△EBB'中,
∵BE= CE- CB
BB'= BESin- CBSin
在R t△ECC'中,Sin= ,
CC= CESin
∵CC'- BB'= BCSin
在Rt△AA'F与Rt△FDD'中.
AA'= AFSin, DD'= DFSin
∵DF= AD - AF
DD'= ADSin- AFSinA'
DD'= ADSin- AA'
DD'+ AA'= ADSin
∵AD= BC, CC'- BB'= DD'+ AA'
CC'- AA'= BB'+ DD'
(2)仿证法(1)同样可证得
CC'+ BB'= BCSin
AA'+ DD'= ADSin
CC'+ BB'= AA'+DD',
CC'- AA'= DD'- BB'
证法三:(1)如图,作DECC', 则DD'C'E为矩形,CE= CC'- DD'
设AFA'= , 则易知CDE= 在Rt△CDE中,
CC'- DD'= CDSin
在Rt△AFA'中, AA'= AFSin
在Rt△FBB'中, BB'= BFSin
BB'= (AB- AF)Sin= ABSin- AFSin
AA'+ BB'= ABSin
∵AB = CD, ∵AA'+ BB'= CC'- DD'
CC'- AA'= DD'+ BB'
(2)如图,仿(1)同法可证:
CC'- AA'= DD'-BB'
【创新园地】
已知△ABC中,BAC= 120,ABC=15,
A,B,C的对边分别为a, b ,c那么a:b:c = _________ (本结论中不含任何三角函数,但保留根号,请考虑多种解法).
解法一:过点B作BDAC交CA的延长线于点D.
BAC=120,
ABC= 15, ACB= DBC=45ABD= 30
在Rt△ABD中,Sin30 AD= c
Cos30 , BD =
b - BD - AD =
a =
a:b:c =
=
解法二:如图,作ADBC, 交BC于D,在AB上取AE = AC, 连CE, 作AFCE,交CE于F,则ACE = AEC= ,BCE= ACB- 30= 45- 30 = 15
△BEC为等腰三角形,BE= CE
设AD = CD = 1, 则AC = , 即b =
CE = 2 AC Cos30
AB= AE + EB = + , 即c = +
BD =
BC = BD + DC = 3 + ,即a = 3 +
a:b:c = (3+ ): :( + )
=
解法三:如图,作ADBC, 交BC于D, 在BC上取点E,使BAE = B = 15,那么,连接AE, 得:AEC = 30,AE = BE. 设AD = DC = 1, 则AC = ,即b = ,AE= BE = 2AD = 2,DE = AECos30 =
即c = +
a:b:c = (3+ ) : :( + )
=
解法四:如图,BD = x, 则2x2 = a2,
x =
= (参照解法一图)
解法五:
以BC为直径作⊙o, 延长CA交⊙o于在,连BD,设a =2r,则BD = r , AD=
=
解法六:建立如图坐标系,则可求:
解法七:建立如图坐标系,由B点引X轴的垂线,垂足为D,则
解法八:建立如图坐标系,设C(-1,0),B(1,0),延长CA交Y轴于点D,连结BD,则D点坐标是(0,1) ,那么|BD|= |CD| =
本例还可用面积法证明,如S△CBD= aBD,Sin45 BD2 BD= ……
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