先造例再猜想后验证_考前复习

先造例再猜想后验证

有这样一道竞赛趣题：

小涵把一个密码数乘以5的积是一个9位数，有趣的是这个9位数恰好包含1到9这9个不同的数字，那么这个密码数的各位数字的和是多少？为什么？

分析与解先看两个例子：

（1）246935795=123467895，这里被乘数当做密码数；

（2）1975286435=987643215，这里被乘数当做密码数。

再计算密码数的各位数字的和：

（1）2＋4＋6＋9＋3＋5＋7＋9=45；

（2）1＋9＋7＋5＋2＋8＋6＋4＋3=45。

由此猜想这个密码数的各位数字的和是45。

从上面所造的两个例子中，我们已发现这种密码数不是唯一的，只要是用1到9这九个数字，任意排列成个位数字是5的九位数除以5所得的商，按照题意，都可当做密码数，可见这样的密码数与5的积的前8位数字应是1，2，3，4，6，7，8，9的任意排列，所以共有（87654321=）40320个。而小涵用的是哪个密码数却无法判断。

为了证明上面的猜想是正确的，一般有两种方法：一是对40320个密码用枚举法逐个验证，但这个方法太繁，时间上也不允许这样做。

另一个方法是设法直接证明。注意到密码数有8位数的也有9位数的，而且这些数中的各位数字也是五花八门的。而密码数乘以5的积倒是很有规律：前8位数恰是1，2，3，4，6，7，8，9的一个排列，末位数是5。不妨设密码数是A，于是5A的各位数字是1到9的一个排列，注意到5A2=A10= ，即密码数后面添一个零。要验证A的各位数字的和是45，那么，只要验证10A的各位数字的和是45就可以了。列表1分析如下：

先造例再猜想后验证1