中学趣味数学:何必累死
传说有一个叫巴霍姆的人想到草原上买一快地.他问:价钱如何?卖主答:一天1000卢布。意思是如果你愿出1000卢布,那么你从日出始至日落止,走过的路所围住的土地就归你所有;倘若你在日落之前回不到出发的地方,你的钱就白花了。巴霍姆觉得很合算,于是他就给卖地人1000卢布。第二天,太阳刚刚从地平线露面,他就立即在大草原上狂奔起来。他奔的路线大致如下图。为了不使自己的1000卢布白费,他用尽全身力气,总算在太阳全部消失前的一刹那,赶到了出发地点(A点),可是还没站稳,就口吐鲜血,向前一扑,再也站不起来了。
可以看出,巴霍姆共跑了40千米的路,他所围住的是一个梯形。计算其面积为。如果他围住的是一个正方形,则面积为。如果他围住的是一个圆,则面积为。贪婪而又愚蠢的巴霍姆,为了78的土地而活活累死,倘若他有一点数学头脑,跑前冷静地想一想、算一算的话,又何必累死呢!其实,我们在解答某些数学问题时,如果不仔细观察,认真分析,运用技巧,那么,毫无疑问,你将是巴霍姆第二。
例1 计算:
(1987年美国数学邀请赛试题)
分析:直接计算显然是不明智的。本题的特点是每一个因式都是的形式,而且各个饮食第一项的底数都有规律。分子上为10、22、34、46、58,以12为差呈阶梯状增加;分母上为4、16、28、40、52,也以12为差呈阶梯状增加,因此想到首先分解因数的方法。
解 :
∵
原式=
例2 乘积的值是(1991年缙云杯数学邀请赛试题)
解:原式=
=
=
解这类题,如果不注意观察特点,即使有一不怕苦,二不怕死的精神也是无能为力的,观察特点,对照形式,选用平方差公式就能迎刃而解。
由此可见,在平时学习中,要注意方法的总结、技巧的积累,一味蛮干,活活累死那是不值得的。
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