四年级奥数知识点:定义新运算
我们学过的常用运算有:+、-、、等.
如:2+3=5
23=6
都是2和3,为什么运算结果不同呢?主要是运算方式不同,实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法,对应法则不同就是不同的运算.当然,这个对应法则应该是对任意两个数,通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求,不同的法则就是不同的运算.在这一讲中,我们定义了一些新的运算形式,它们与我们常用的+,-,,运算不相同.
我们先通过具体的运算来了解和熟悉定义新运算.
例1 设a、b都表示数,规定a△b=3a2b,
①求 3△2, 2△3;
②这个运算△有交换律吗?
③求(17△6)△2,17△(6△2);
④这个运算△有结合律吗?
⑤如果已知4△b=2,求b.
分析解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质,本题规定的运算的本质是:用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解:① 3△2= 33-22=9-4= 5
2△3=32-23=6-6=0.
②由①的例子可知△没有交换律.
③要计算(17△6)△2,先计算括号内的数,有:17△6=317-2再计算第二步
39△2=3 39-22=113,
所以(17△6)△2=113.
对于17△(6△2),同样先计算括号内的数,6△2=36-22=14,其次
17△14=317-214=23,
所以17△(6△2)=23.
④由③的例子可知△也没有结合律.⑤因为4△b=34-2b=12-2b,那么12-2b=2,解出b=5.
例2 定义运算※为a※b=ab-(a+b),①求5※7,7※5;
②求12※(3※4),(12※3)※4;
③这个运算※有交换律、结合律吗?④如果3※(5※x)=3,求x.
解:① 5※7=57-(5+7)=35-12=23,7※ 5= 75-(7+5)=35-12=23.
②要计算12※(3※4),先计算括号内的数,有:3※4=34-(3+4)=5,再计算第二步12※5=125-(12+5)=43,
所以 12※(3※4)=43.
对于(12※3)※4,同样先计算括号内的数,12※3=123-(12+3)=21,其次
21※4=214-(21+4)=59,所以(12※ 3)※4=59.③由于a※b=ab-(a+b);
b※a=ba-(b+a)
=ab-(a+b)(普通加法、乘法交换律)
所以有a※b=b※a,因此※有交换律.
由②的例子可知,运算※没有结合律.
④5※x=5x-(5+x)=4x-5;
3※(5※x)=3※(4x-5)
=3(4x-5)-(3+4x-5)
=12x-15-(4x-2)
= 8x- 13
那么 8x-13=3
解出x=2.
③这个运算有交换律和结合律吗?
副标题#e#
的观察,找到规律:
例5 x、y表示两个数,规定新运算*及△如下:x*y=mx+ny,x△y=kxy,其中 m、n、k均为自然数,已知 1*2=5,(2*3)△4=64,求(1△2)*3的值.
分析 我们采用分析法,从要求的问题入手,题目要求1△2)*3的值,首先我们要计算1△2,根据△的定义:1△2=k12=2k,由于k的值不知道,所以首先要计算出k的值.k值求出后,l△2的值也就计算出来了,我们设1△2=a.
(1△2)*3=a*3,按*的定义: a*3=ma+3n,在只有求出m、n时,我们才能计算a*3的值.因此要计算(1△2)* 3的值,我们就要先求出 k、m、n的值.通过1*2 =5可以求出m、n的值,通过(2*3)△4=64求出 k的值.
解:因为1*2=m1+n2=m+2n,所以有m+2n
=5.又因为m、n均为自然数,所以解出:
①当m=1,n=2时:
(2*3)△4=(12+23)△4
=8△4=k84=32k
有32k=64,解出k=2.
②当m=3,n=1时:
(2*3)△4=(32+13)△4
=9△4=k94=36k
所以m=l,n=2,k=2.
(1△2)*3=(212)*3
=4*3
=14+23
=10.
在上面这一类定义新运算的问题中,关键的一条是:抓住定义这一点不放,在计算时,严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是:定义一个新运算,这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律,因此在没有确定新运算是否有这些规则之前,不能应用这些运算律来解题。
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