平谷区2015九年级数学上册期中测试题(含答案解析)
平谷区2015九年级数学上册期中测试题(含答案解析)
一、选择题(本 题共32分,每小题4分)
下列各小题均有4个选项,其中只有一个选项是正确的.
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,则 的值是
A. B. C. D.
2.将抛物线 向下平移3个单位,则得到的抛物线解析式为
A. B. C. D.
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,则 是
A. B. C. D.
4.如图,已知A、B、C三点在⊙O上,∠A=50°,则∠BOC的度数为
A.50° B.25° C.75° D.1 00°
5.在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,5,从中随机摸出一个小球,其标号为偶数的概率为
A. B. C. D.
6.如图,在△ABC中,BC=4,以点A为圆心,2为半径的⊙A与BC相切于点 D,交AB于点E,交AC于点F,且∠EAF=80°,则图中阴影部
分的面积为
A.4 B.
C. D.
7.若关于 的二次函数 的图象与x轴仅有一个公共点,则k的取值范围是
A. B. C. D.
8.如图反映的过程是:矩形 中,动点 从点 出发,依次沿对角线 、边 、边 运动至点 停止,设点 的运动路程为 , .则矩形 的周 长是
A.6 B.12 C.14 D.15
二、填空题(本题共16分,每小题4分)
9.在函数 中,自变量 的取值范围是 .
10.如图,路灯距离地面8米,身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处,则小明的影子AM长为 米.
11.请写出一条经过原点的抛物线解析式 .
12.在直角坐标系中,我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点.设坐标轴的单位长度为1cm,整点P从原点O出发,作向上或向右运动,速度为1cm/s.当整点P从原点出发1秒时,可到达整点(1,0)或(0,1);当整点P从原点出发2秒时,可到达整点(2,0)、(0,2)或 ;当整点P从原点出发4秒时,可以得到的整点的个数为 个.当整点P从原点出发n秒时,可到达整点(x,y),则x、y和n的关系为 .
三、解答题(本题共30分,每小题5分)
13.已知:如图,D是AC上一点,DE∥AB,∠ B=∠DAE.
(1)求证:△ABC∽△DAE;
(2)若AB=8,AD=6,AE=4,求BC的长.
14.计算: .
15.如图,小明要测量河内小岛B 到河边公路AD的距离,在A点测得 , 在C点测得 ,又测得 米,求小岛B到公路AD的距离.
16.我区某蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种.如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后,大棚内
温度y(℃)随时间x (小时)变化的函数图象,其中BC段是双曲线 的一部分.请根据图中信息解答下列问题:
(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有 小时;
(2)求k的值;
(3)当x=16时,大棚内的温度约为 度.
17.如图,已知AB为⊙O的直径,CD是弦,且AB CD于点E.
连接AC、OC、BC.
(1)求证:∠ACO=∠BCD.
(2)若BE=3,CD=8,求⊙O的直径.
18.如图,抛物线经过点A、B、C.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若抛物线和x轴的另一个交点为D,求△ODC的面积.
四、解答题(本题共20分,每小题5分)
19.如图,点P是菱形ABCD的对角线BD上一点,连结AP、CP,
延长CP交AD于E,交BA的延长线于F.
(1)求证:∠DCP=∠DAP;
(2)若AB=2,DP:PB=1:2,且PA⊥BF,求对角线BD的长.
20.如图,BC为⊙O的直径,以BC为直角边作Rt△ABC,∠ACB=90°,斜边AB与⊙O交于点D,过点D作⊙O的切线DE交AC于点E,DG⊥BC于点F,交⊙O于点G.
(1)求证:AE=CE;
(2)若AD=4,AE= ,求DG的长.
21.如图,一次函数的图象与 轴、 轴分别相交于A、B两点,且与反比例函数的图象在第二象限交于点C.如果点A的坐标为 ,OA=2OB,点 B是AC的中点.
(1)求点C的坐标;
(2)求一次函数和反比例函数的解析式.
22.阅读下面材料:
如图1,在△ABC中,D是BC边上的点(不与点B、C重合),连结AD.
(1)当点D是BC边上的中点时,S△ABD:S△ABC= ;
(2)如图2,在△ABC中,点O是线段AD上一点(不与点A、D重合),且AD=nOD,连结BO、CO,求S△BOC:S△ABC的值(用含n的代数式表示);
(3)如图3,O是线段AD上一点(不与点A、 D重合),连结BO并延长交AC于点F,连结CO并延长交AB于点E,补全图形并直接写出 的值.
五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)
23.我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点值,此时的点称为函数的零点.例如,对于函数 ,令 ,可得 ,我们就说1是函数 的零点值,点 是函数 的零点.
已知二次函数 .
(1)若函数有两个不重合的零点时,求k的取值范围;
(2)若函数的两个零点都是整数点,求整数k的值;
(3)当k0时,在(2)的条件下,函数的两个零点分别是点A,B(点A在点B的左侧),将二次函数的图象在点A,B间的部分(含点A和点B)向左平移 个单位后得到的图象记为 ,同时将直线 向上平移 个单位.请结合图象回答:当平移后的直线与图象 有公共点时,求 的取值范围.
24.已知平面直角坐标系中两定点 、 ,抛物线 过点A,B,与y交于C点,点P(m,n)为抛物线上一点.
(1)求抛物线的解析式和点C的坐标;
(2)当∠APB为钝角时,求m的取值范围;
(3)当∠PAB=∠ABC时,求点P的坐标.
25.(1)如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.
①∠AEB的度数为 ;
②线段AD,BE之间的数量关系为 ;
(2)如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE,请判断∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由;
(3)如图3,在正方形ABCD中,CD= ,若点P满足PD=1,且∠BPD=90 °,请求出点A到BP的距离.
平谷区2015九年级数学上册期中测试题(含答案解析)参考答案及评分标准
一、选择题(本题共32分,每小题4分)
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8
答 案 A B A D B C D C
二、填空题(本题共16分,每小题4分)
9. ;10.5;11.答案不唯一,如: ;
12.(1,1);… …………………………………………………………………………………1分
5; ………………………………………………………………………………………2分
x+y=n………………………………………………………………………………………4分
三、解答题(本题共30分,每小题5分)
13.(1)证明:∵DE∥AB,
∴∠ADE=∠CAB.……………………………………1分
∵∠B=∠DAE,
∴△ABC∽△DAE.…………………… ……………3分
(2)∴ .………………………………………4分
∵AB=8,AD=6,AE=4,
∴ .
∴ .…………………………………………5分
14.解:
……………………………………………………………………………4分
………………………………………………………………………………………5分
15.解:过B作BE⊥AD于E
∵ , ,
∴ .……………………………………1分
∴ .…………………………2分
∴BC = AC=50(米).…………………………………3分
在Rt△BCE中, .
∴ (米). ………………………………………………………………………4分
答:小岛B到公路AD的距离是 米.………………………………… ………………5分
16.解:(1)恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为 10 小时.………………1分
(2)∵点B(12,18)在双曲线 上, …………………………………………2分
∴18= ,
∴k=216. ………………………………………………………………………3分
(3)当x=16时, ,…………………………………………………4分
所以当x=16时,大棚内的温度约为 13.5 度.……………………………………5分
17.证明:(1)∵AB 为⊙O的直径,CD 是弦 ,且AB CD于E,
∴CE=ED, .………………………1分
∴ BCD= BAC.
∵OA=OC,
∴ OAC= OCA .
∴ ACO= BCD. …………………………2分
(2) ∵CE=ED=4,……………………………3分
方法一:在Rt BCE中, .
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=∠BEC=90°.
∵∠B=∠B,
∴△CBE∽△ABC.………………………………………………………………4分
∴ .
∴ .………………………………………………………………5分
方法二:设⊙O的半径为Rcm,则OE=OB EB=R-3
在Rt CEO中,由勾股定理可得
OC =OE +CE 即R = (R 3) +4
解得 R= ………………………………………………………………………4分
∴2R=2 = ………………………………………………………………5分
答:⊙O的直径为 .
18.解:(1)由题意知 , ,
设抛物线的解析式为 .………………1分
把 代入,解得a=1.……………………………2分
∴ .………………………3分
(2)∵对称轴x=1,
∴点D的坐标为 .………………………………………………………………………4分
∴ .…………………………………………………………………………………5分
四、解答题(本题共20分,每小题5分)
19.(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴CD=AD,∠CDP=∠ADP.
∵DP=DP,
∴△CDP≌△ADP.……………………………………………………………………………1分
∴∠DCP=∠DAP. ……………………………………………………………………………2分
(2)解:∵CD∥BA,
∴△CDP∽△FPB.
∴ .……………………………………3分
∵CD=BA,
∴BA=AF.
∵PA⊥BF,
∴PB=PF.………………………………………………4分
∴∠PBA=∠PFA.
∴∠PCD=∠P DC.
∴PD =PC=PA.
∴BD=BP+PD.
∵ ,
∴ .
在Rt△ABP中, ,
∵AB=2,
∴ , .
∴ .…………………………………………………………………………………5分
20.(1)证明:连结CD,
∵BC为⊙O的直径,∠ACB=90°,
∴AC是⊙O的切线.
又∵DE与⊙O相切,
∴ED=EC. ……………………………1分
∴∠1=∠3.
∵BC为⊙O的直径,
∴∠BDC=90°.
∵∠1+∠2=∠3+∠A=90°,
∴∠A=∠2.
∴ED=EA.
∴AE=CE. ………………………………………………………………………………………2分
(2)解:∵AE= ,
∴AC=2AE= .
在Rt△ACD中, .…………………………………………………3分
∴
∵∠3+∠4=∠3+∠A=90°,
∴∠A=∠4.
∴
∴ …………………………………………………………………………………4分
∵DG⊥BC于点F,
∴DG=2DF= .……………………………………………………………………………5分
21.解:⑴作CD⊥ 轴于D,
∴CD∥BO.
∵OA=2OB,
∴OB=2.
∴ .………………………………………1分
∵ 点B是AC的中点,
∴O是AD的中点.………………………………2分
∴OD=OA=4,CD=2OB=4.
∴点C的坐 标为 .………………………3分
⑵设反比例函数的解析式为 ,
∴ .
∴所求反比例函数的解析式为 .……………………………………………………4分
设一次函数为 ,
∵A(4,0),C ,
∴ 解得: .
∴所求一次函数的解析式为 .…………………………………………………5分
22.解:(1)S△ABD:S△ABC= 1:2 ;………………………………………………………1分
(2)如图,作OM⊥BC于M,作AN⊥BC于N,
∴OM∥AN.
∴△OMD∽△AND.……………………………………2分
∴ .
∵AD=nOD;
∴
∵ ,
∴ .……………………………………………………………………3分
(3) …………………………………………………………………4分
. ………………………………………………………………5分
五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)
23.解:(1)证明:
.……………………………………………………………………………………1分
∵二次函数有两个不重合的零点
∴ …………………………………………………………………………2分
∵
∴当 且 时,二次函数有两个不重合的零点. …………………………………3分
(2)解方程得: ,
∴ 或 .…………………………………………………………………………4分
∵函数的两个零点都是整数, 是整数,
∴ 是整数.
∴ . ……………………………………………………………………………………5分
(3)∵k0,
∴ .
∴ , .
∵函数的两个零点分别是A, B(点A在点B的左侧),
∴ , .
∴平移后的点为 , .
平移后的解析式为 .
∴ 解得 ,…………………………………………………… …6分
解得 .
∴ .……………………………………………………………………………………7分
24.解:(1)∵抛物线 过点A,B,
∴ ,解得: ,
∴抛物线的解析式为: .…………………………………………………1分
∴C .……………………………………………………………………………………2分
(2)方法一:∵
∴∠ACO=∠OBC.
∴∠ACO+∠OCB=90°,即∠ACB=90°,
∴ .…………………………………………………………………………………3分
由抛物线的对称性可知,
∴当﹣1<m<0或3<m<4时,∠APB为钝角.…………………………………………5分
方法二:以AB为直径作圆M,与y轴交于点P.则抛物线在圆内的部分,能是∠APB为钝角,
∴M( ,0),⊙M的半径= .
在Rt△OMP中,∴ .
∴ .……………………………………3分
以下同方法一.
(3)在Rt△OBC中, .
第一种情况:过A作AP∥BC,交抛物线于点P .
∴∠PAB=∠ABC.
过P作PQ⊥AB于Q,
∴ .
∵P(m,n),
∴P Q=n,AQ=m+1
∴ .
∴ .
解得
∴ ………………………………………………6分
第二种情况:
方法一:点P关于x轴的对称点的坐标为
∴直线AP″的解析式为
∴ 解得
∴ ……………………………………………………………………………………7分
方法二:假设∠P’AB=∠ABC,交抛物线于点P’ .
过P’作P’Q’⊥AB于Q’,
∴ .
∵P(m,n),
∴P’Q’=﹣n,AQ’=m+1
∴ .
∴ .
解得
∴ ………………………………………7分
∴
25.解:(1)①60°.…………………………………………………………………………1分
②AD=BE.………………………………………………………………………… …………2分
(2)∠AEB=90°,AE=BE+2CM.
理由:如图2,
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,
∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°.
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE. ……………………………………………………………………………3分
∴AD=BE,∠ADC=∠BEC.
∵△DCE为等腰直角三角形,
∴∠CDE=∠CED=45°.
∵点A,D,E在同一直线上,
∴∠ADC=135°.
∴∠BEC=135°.
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°.……………………………………………………………4分
∵CD=CE,CM⊥DE,
∴DM=ME.
∵∠DCE=90°,
∴DM=ME=CM.
∴AE=AD+DE=BE+2CM.……………………………………………………………………5分
(3)方法一:∵CD= ,
∴BD=2.
第一种情况:当点P在BD上方时
∵PD=1,∠BPD=90°
∴∠PBD=30°.
∴∠PBA=∠ PDA=15°.
在BP上截取BE=PD,
∴△ABE≌△ADP.
∴AE=AP,∠PAD=∠EAB
∵ ∠BAE+∠EAD=90°,
∴∠PAD +∠EAD=90°.
即∠EAP=90°.…………………………………6分
过A作AH⊥BP于H,
由(2)可知,BP=DP+2AH.
∴AH= .…………………………………7分
第二种情况:当点P在BD下方时
同理可得:BP’=2AH’﹣P’D.
∴AH= .…………………………………………………………………………………8分
方法二:∵PD=1,
∴点P在以点D为圆心,1为半径的圆上.
∵∠BPD=90°,
∴点P在以BD为直径的圆上.
∴点P是这两圆的交点.
①当点P在如图3①所示位置时,
连接PD、PB、PA,作AH⊥BP于H,
过点A作AE⊥AP,交BP于点E,如图3①.
∵四边形ABC D是正方形,
∴∠ADB=45 °,CD= ,∴BD=2.
∵DP=1,∴BP= .
∵A、P、D、B四点共圆,∴∠APB=∠ADB=45°.
∴△PAE是等腰直角三角形.…………………………………………………………………6分
又∵△BAD是等腰直角三角形, AH⊥BP,
∴由(2)中的结论可得:BP=2AH+PD.
∴AH= .…………………………………7分
②当点P在如图3②所示位置时,
连接PD、PB、PA,作AH⊥BP于H,
过点A作AE⊥AP,交PB的延长线于点E,如图3②.
同理可得:BP=2AH﹣PD.
∴AH= .……………………………………8分
综上所述:点A到BP的距离为 或 .
以上答案仅供参考,其它解法按相应步骤给分!
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