房山区2015九年级数学上册期中试题(含答案解析)
房山区2015九年级数学上册期中试题(含答案解析)
一、选择题(本题共32分,每小题4分)
下列各题均有四个选项,其中有且只有一个是符合题意的.请将正确选项前的字母填在下表中相应的位置上.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1. 抛物线 的顶点坐标是
A. B. C. D.
2.如图,⊙O是△ABC的外接圆,若AB=OA=OB,则∠C等于
A.30° B.40° C.60° D.80°
3.在 Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,则sinB的值等于
A. B. C. D.
4. 已知点P(-3,2)是反比例函数图象上的一 点,则该反比例函数的表达式为
A. B. C. D.
5. 已知△ABC∽△A′B′C′,相似比为1:2,则△ABC与△A′B′C′ 的面积的比为
A.1:2 B. 2:1 C. 1:4 D. 4:1
6. 如图,弦AB ? OC,垂足为点C,连接OA,若OC=2,AB=4,则OA等于
A. B. C. D.
7. 在某一时刻,测得一根高为 的竹竿的影长为 ,同时测得一根旗杆的影长为 ,那么这根旗杆的高度为
A. 10m B. 12m C. 15m D.40m
8. 如图,⊙O的半径为2,点P是半径OA上的一个动点,过点P作直线MN且∠APN=60°,过点A的切线AB交MN于点B. 设OP=x,△PAB的面积为 y,则下列图象中,
能表示 与 的函数关系的图象大致是
二、填空题(本题共16分,每小题4分)
9.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC边上的点,且 DE∥BC,
若AD=5,DB=3,DE=4,则BC等于 .
10.如图,⊙ 的半径为2, , 切⊙ 于 ,弦 ,
连结 , 则图中阴影部分的面积为 .
11. 如图,⊙O的直径CD过弦AB的中点E,∠BCD=15°,
⊙O的半径为10,则AB= .
12. 抛物线 (其中n是正整数)与x轴交于An、Bn两点,若以AnBn表示这两点间的距离,则 ; ;
(用含n的代数式 表示)
二、解答题(本题共30分,每小题5分)
13.计算:
解:
14.如图, 为线段 上一点, , , .求证: .
解:
15.已知二次函数 的图象与x轴有交点,求k的取值范围.
解:
16. 如图,在 中, , , 为 上一点, , ,求 的长.
解:
17. 小红想要测量校园内一座教学楼CD的高度. 她先在A处测得楼顶C的仰角 30°,再向楼的方向直行10米到达B处,又测得楼顶C的仰角 60°,若小红的目高(眼睛到地面的高度)AE为1.60米,请你帮助她计算出这座教学楼CD的高度(结果精确到0.1米)参考数据: , ,
解:
18. 如图,直线y=3x与双曲线 的两个交点分别为A (1 , m)和B.
(1)直接写出点B坐标,并求出双曲线 的表达式;
(2)若点P为双曲线 上的点(点P不与A、B重合),且满足PO=OB,直接写出点P坐标.
解:
四、解答题(本题共20分,每小题5分)
19. 抛物线 与x轴分别交于点A (-1,0)和点B,与y轴的交点C坐标为(0,-3).
(1)求抛物线的表达式;
(2)点D为抛物线对称轴上的一个动点,若DA+DC的值最小,求点D的坐标.
解:
20. 如图是一个古代车轮的碎片,小明为求其外圆半径,连结外圆上的两点A、B,并使AB与车轮内圆相切于点D,做CD⊥AB交外圆于点C.测得CD=10cm,AB=60cm,求这个车轮的外圆半径长.
解:
21.如图,AB是⊙O的 直径, 点C在⊙O上,CE? AB于E, CD平分?ECB, 交过 点B的射线于D, 交AB于F, 且BC=BD.
(1)求证:BD是⊙O的切线;
(2)若AE=9, CE=12, 求BF的长.
解:
22. 阅读下面的材料:
小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题:
小明是这样解决问题的:由新定义可知a=1,b=-2,又b<0,所以1※(-2)= 12 .
请你参考小明的解题思路,回答下列问题:
(1) 计算:2※3= ;
(2) 若5※m=56 ,则m= .
(3) 函数y=2※x(x≠0)的图象大致是()
五、解答题(本题共22分,其中23题7分,24题7分,25题8分)
23. 直线y=﹣3x+3与x轴交于点A, 与y轴交于点B,抛 物线y=a(x﹣2)2+k经过点A、B,与x轴的另一交点为C.
(1)求a,k的值;
(2)若点M、N分别为抛物线及其对称轴上的点, 且以A,C,M,N为顶点的四边形为平行四边形,请直接写出点M的坐标.
24. 如图,⊙O是△ABC的外接圆,AC是直径,过点O作OD⊥AB于点D,延长DO交⊙O于点P,过点 P作PE⊥AC于点E,作射线DE交BC的延长线于F点,连接PF.
(1)若∠POC=60°,AC=12,求劣弧PC的长;(结果保留π)
(2)求证:OD=OE;
(3)求证:PF是⊙O的切线.
解:
25. 已知抛物线 .
(1) 求证:无论 为任何实数,抛物线与 轴总有两个交点;
(2) 若A 、B 是抛物线上的两个不同点,求抛物线的表达式和 的值;
(3) 若反比例函数 的图象与(2)中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为 ,且满足23,求k的取值范围.
解:
房山区2015九年级数学上册期中试题(含答案解析)参考答案和评分参考
一、选择题(每题4分,共32分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D D C A C D
二、填空题(每题4分)
9. 325 10. 23π 11. 10 12. (前两空每1分,最后一空2分)
三、解答题
13. 解:原式=1-2×32 -8+23 …………………………4分
=3 -7 ………………………………………5分
14. 证明 :
∵ ,
∴ .
∵ 为线段 上一点,且 ,
∴ .
∴ . …………………………………………………………………2分
∵ = , …………………………………………………………………3分
∴△ ∽△ . ………………………………………………………………4分
∴ .………………………………………………………………………5分
15. 由题意可知: ……………………2分
即 …………………………3分
解得 ……………………………………4分
∴ k的取值范围是:k≤4且k≠3……………5分
16. 解:在 中, , ,
∴
∴ …………………………………1分
在 中, ,∴ ,……2分
∴ ……………………………………3分
∴ ……… …………4分
∴ ……………………………5分
17. ∵ 30°, 60°,∴∠ECF= =30°. ∴ .
在Rt△CFG中, ……………………………………………3分
∴ . ………………………………………………5分
答:这座教学楼的高度约为10.3米.
18.(1)点B坐标为(-1,-3)……………………………………1分
∵直线y=3x过点A(1,m)
∴m=3×1=3
∴A(1,3) ……………………………………………………2分
将A(1,3)代入y=kx 中,得 k=xy=1×3=3
∴y=3x …………………………………………… ……………3分
(2) P1(-3,-1), P2(3,1)………………………………………………5分
四、解答题
19. 解:(1) 将A(-1,0)和C(0,-3)代入抛物线 中
得: , 解得: …………1分
∴抛物线的解析式为 …………………2分
(2)由 =
知抛物线的对称轴为直线x=1,点B(3,0)……………3分
连接BC,交对称轴x=1于点D
可求得直线BC:y=x-3
当x=1时,y=-2
∴点D(1,-2)……………………………………………5分
20. 如图,设点O为外圆的圆心,连接OA和OC,……1分
∵CD=10cm,AB=60cm,
∴设半径为r,则OD=r﹣10,…………………………2分
根据题意得:r2=(r﹣10)2+302,…………………3分
解得:r=50,…………………………………………5分
∴这个车轮的外圆半径长为50.
21. (1)证明:∵ ,
∴ .
∵ CD平分 , BC=BD,
∴ , .
∴ . …………………………1分
∴ ∥ .
∴ .
∵ AB是⊙O的直径,
∴ BD是⊙O的切线. ………………………………………………………2分
(2)连接AC,
∵ AB是⊙O直径,
∴ .
∵ ,
可得 .
∴ ………………………………………………………3分
在Rt△CEB中,∠CEB=90?, 由勾股定理得 ……………4分
∴ .
∵ , ∠EFC =∠BFD,
∴ △EFC∽△B FD. ………………………………………………………5分
∴ .
∴ .
∴ BF=10. ………………………………………………………………………6分
22. 解:(1) …………………1分
(2) ±6 ……………………3分
(3)D………………………5分
五、解答题(本题共22分,其中23题7分,24题7分,25题8分)
23. (1)∵直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ,
∴ , . ……………………………………2分
又抛物线 经过点 ,
∴ 解得
即 , 的值分别为 , . ……………………………4分
(2) …………………………………7分
24. (1)解:∵AC=12,
∴CO=6,
∴ = =2π;
(2)证明:∵PE⊥AC,OD⊥AB,
∠PEA=90°,∠ADO=90°
在△ADO和△PEO中,
,
∴△POE≌△AOD(AAS),
∴OD=EO;
(3)证明:如图,连接AP,PC,
∵OA=OP,
∴∠OAP=∠OPA,
由(1)得OD=EO,
∴∠ODE=∠OED,
又∵∠AOP=∠EOD,
∴∠OPA=∠ODE,
∴AP∥DF,
∵AC是直径,
∴∠APC=90°,
∴∠PQE=90°
∴PC⊥EF,
又 ∵DP∥BF,
∴∠ODE=∠EFC,
∵∠OED=∠CEF,
∴∠CEF=∠EFC,
∴CE=CF,
∴PC为EF的中垂线,
∴∠EPQ=∠QPF,
∵△CEP∽△CAP
∴∠EPQ=∠E AP,
∴∠QPF=∠EAP,
∴∠QPF=∠OPA,
∵∠OPA+∠OPC=90°,
∴∠QPF+∠OPC=90°,
∴ OP⊥PF,
∴PF是⊙O的切线.
25.(1)证明:令 .
得 .
不论m为任何实数,都有(m-1)2+3>0,即△>0. ……………1分
∴不论m为任何实数,抛物线与x轴总有两个交点. ……………… 2分
(2)解:抛物线 的对称轴为
∵抛物线上两个不同点A 、B 的纵坐标相同,∴点A和点B关于抛物线的对称轴对称,则 .
∴ . ……………………………………………………… 3分
∴抛物线的解析式为 . ………………… 4分
∵A 在抛物线 上,
∴ .
化简,得 .
∴ . ……………………………………………… 5分
(3) 当23时,
对于 ,y随着x的增大而增大,
对于 ,y随着x的增大而减小.
所以当 时,由反比例函数图象在二次函数图象上方,
得 > ,
解得k>5. …………………………………6分
当 时,由二次函数图象在反比例函数图象上方,
得 > ,
解得k<18. ……………………………………7分
所以k的取值范围为5<k<18. ……………………………8分
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