北京西城区2015九年级数学下册期中试卷(含答案解析)
北京西城区2015九年级数学下册期中试卷(含答案解析)
一、选择题(本题共30分,每小题3分)
1.2015年羊年除夕夜的10点半,在央视春晚送红包的活动中,微信“摇一摇”峰值的摇动次数达到8.1亿次 /分钟,送出微信红包120 000 000个.将120 000 000用科学记数法表示应为
A. B. C. D.
2.如图,BD∥AC,AD与BC交于点E,如果∠BCA=50°, ∠D=30°,
那么∠DEC等于
A. 75° B. 80°
C. 100° D. 120°
3.64的立方根是
A. B. C. 8 D. 4
4.函数 中,自变量 的取值范围是
A. B. x≥2 C. x>2 D. x≥
5.如图,△ABC中,D,E两点分别在AB,AC边上,且DE∥BC,
如果 ,AC=6,那么AE的长为
A. 3 B. 4 C. 9 D. 12
6.某居民小区开展节约用电活动,该小区100户家庭4月份的节电情况如下表所示.
节电量(千瓦时) 20 30 40 50
户数(户) 20 30 30 20
那么4月份这100户家庭的节电量(单位:千瓦时)的平均数是
A. 35 B. 26 C. 25 D. 20
7. 若一个正六边形的半径为2,则它的边心距等于
A. 2 B. 1 C. D.
8.如图,△ABC的边AC与⊙O相交于C,D两点,且经过圆心O,
边AB与⊙O相切,切点为B.如果∠A=34°,那么∠C等于
A.28° B.33°
C.34° D.56°
9.如图,将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中,O是原点,
若点A的坐标为 ,则点C的坐标为
A. B. C. D.
10.在平面直角坐标系xOy中,点M的坐标为 .如果以原点为圆心,半径为1的⊙O上存在点N,使得 ,那么m的取值范围是
A. ≤m≤1 B. <m<1 C. 0≤m≤1 D. 0<m<1
二、填空题(本题共18分,每小题3分)
11.若 则 .
12.若一个凸n边形的内角和为 ,则边数n = .
13.两千多年前,我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验.他的做法是,在一间黑暗的屋子里,一面墙上开一个小孔,小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像.小华在学习了小孔成像的原理后,利用如下装置来验证小孔成像的现象.已知一根点燃的蜡烛距小孔20cm,光屏在距小孔30cm处,小华测量了蜡烛的火焰高度为2cm,则光屏上火焰所成像的高度为______cm.
14.请写出一个图象的对称轴是直线 ,且经过 点的二次函数的表达式: ______.
15.如图,在平面直角坐标系x Oy中,直线 与双曲线 (n≠0)在第一象限的公共点是 .小明说:“从图象上可以看出,满足 的x的取值范围是 .”你同意他的观点吗?答: .理由是 .
16.如图,在平面直角坐标系xOy中,点D为直线 上且在第一象限内的任意一点, ⊥ 轴于点 ,以 为边在 的右侧作正方形 ;直线 与边 交于点 ,以 为边在 的右侧作正方形 ;直线 与边 交于点 ,以 为边在 的右侧作正方形 ,……,按这种方式进行下去,则直线 对应的函数表达式为 ,直线 对应的函数表达式为 .
三、解答题(本题共30分,每小题5分)
17.如图,△ABC是等边三角形,D,E两点分别在AB,BC的延长线上,BD=CE,连接AE,CD.求证:∠E=∠D.
18.计算: .
19.已知 ,求代数式 的值.
20.解方程: .
21.列方程(组)解应用题:
某超市的部分商品账目记录显示内容如下:
商品 时间 第一天 第二天 第三天
牙膏(盒) 7 14 ?
牙刷(支) 13 15 12
营业额(元) 121 187 124
求第三天卖出牙膏多少盒.
22.已知关于x的函数 .
(1)求证:无论m取何实数,此函数的图象与x轴总有公共点;
(2)当m>0时,如果此函数的图象与x轴公共点的横坐标为整数,求正整数m的值.
四、解答题(本题共20分,每小题5分)
23.如图,将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠,使点C 与点A重合,点D的落点记为点D′ ,折痕为EF,连接CF.
(1)求证:四边形AFCE是菱形;
(2)若∠B=45°,∠FCE=60°,AB= ,求线段D′F的长.
24.1949年以来,北京市人口结构变迁经历了5个阶段,从2001年至今已进入第五个阶段
——人口膨胀增长阶段.以下是根据北京市统计局2015年1月的相关数据制作的统计图.
根据以上信息解决下列问题:
(1)以下说法中,正确的是
(请填写所有正确说法的序号)
① 从2011年至2014年,全市常住人口数在逐年下降;
② 2010年末全市常住人口数达到近年来的最高值;
③ 2014年末全市常住人口比2013年末增加36.8万人;
④ 从2011年到2014年全市常住人口的年增长率连续递减.
(2)补全“2014年末北京市常住人口分布图”,并回答:2014年末朝阳、丰台、石景山、海淀四区的常住人口总数已经达到多少万人?
(3)水资源缺乏制约着北京市的人口承载能力,为控制人口过快增长,到2015年底,北京市要将全市常住人口数控制在2180万以内(即不超过2180万).为实现这一目标,2015年的全市常住人口的年增长率应不超过 .(精确到0.1%)
25.如图1,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点F在线段ED上.连接AF并延长交
⊙O于点G,在CD的延长线上取一点P,使PF=PG.
(1)依题意补全图形,判断PG与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)如图2,当E为半径OA的中点,DG∥AB,且 时,求PG的长.
26.(1)小明遇到下面一道题:
如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90o,∠ACB=30o,BE⊥AC于点E,且 .如果AB=1,求CD边的长.
小明在解题过程中发现,图1中,△CDE与△ 相似,CD的长度等于 ,线段CD与线段 的长度相等;
他进一步思考:如果 ( 是锐角),其他条件不变,那么CD的长度可以表示为CD= ;(用含 的式子表示)
(2)受以上解答过程的启发,小明设计了如下的画图题:
在Rt△OMN中,∠MON=90o,OM<ON,OQ⊥MN于点Q,直线l经过点M,且l∥ON.请在直线l上找出点P的位置,使得 .请写出你的画图步骤,并在答题卡上完成相应的画图过程.(画出一个即可,保留画图痕迹,不要求证明 )
五、解答题(本题共22分,第27题7分,第28题7分,第29题8分)
27. 已知一次函数 (k≠0)的图象经过 , 两点,二次函数
(其中a>2).
(1)求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标(用含a的代数式表示);
(2)利用函数图象解决下列问题:
①若 ,求当 且 ≤0时,自变量x的取值范围;
②如果满足 且 ≤0时的自变量x的取值范围内恰有一个整数,直接写出a的取值范围.
28.正方形ABCD的边长为3,点E,F分别在射线DC,DA上运动,且DE=DF.连接BF,作EH⊥BF所在直线于点H,连接CH.
(1)如图1,若点E是DC的中点,CH与AB之间的数量关系是 ;
(2)如图2,当点E在DC边 上且不是DC的中点时,(1)中的结论是否成立?若成立
给出证明;若不成立,说明理由;
(3)如图3,当点E,F分别在射线DC,DA上运动时,连接DH,过点D作直线DH的垂线,交直线BF于点K,连接CK,请直接写出线段CK长的最大值.
29.对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G,给出如下定义:在图形G上若存在两点M,N,使△PMN为正三角形,则称图形G为点P的τ型线,点P为图形G的τ型点,
△PMN为图形G关于点P的τ型三角形.
(1)如图1,已知点 , ,以原点O为圆心的⊙O的半径为1.在A,B两点中,⊙O的τ型点是____,画出并回答⊙O关于该τ型点的τ型三角形;(画出一个即可)
(2)如图2,已知点 ,点 (其中m>0).若线段EF为原点O的τ型线,
且线段EF关于原点O的τ型三角形的面积为 ,求m的值;
(3)若 是抛物线 的τ型点,直接写出n的取值范围.
北京西城区2015九年级数学下册期中试卷(含答案解析)参考答案及评分标准
一、选择题(本题共30分,每小题3分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D B B A C A C A
二、填空题(本题共18分,每小题3分)
11 12 13 14 15 16
8 3
(答案不唯一) 不同意 x的取值范围是 或 (或其他正确结论)
三、解答题(本题共30分,每小题5分)
17.证明:如图1.
∵ △ABC是等边三角形,
∴ AC=BC,∠ACB=∠ABC=60°.……………………… ……………………… 1分
∵ D,E两点分别在AB,BC的延长线上,
∴ ∠ACE=∠CBD=120°. …………………2分
在△ACE和△CBD中,
……………………… 3分
∴ △ACE≌△CBD.……………………… 4分
∴ ∠E=∠D.…………………………………………………………………… 5分
18.解:
………………………………………………………………4分
. ………………………………………………………………………… 5分
19.解:
= ………………………………………………………………2分
=
= .………………………………………………………………………3分
∵ ,
∴ .…………………………………………………………………… 4分
∴ 原式= .……………………………… ……………5分
20.解:去分母,得 .…………………………………………………… 1分
去括号,得 . ………………………………………………………2分
整理,得 .……………………………………………………………… 3分
解得 . …………………………………………………………………… 4分
经检验, 是原方程的解. …………………………………………………5分
所以原方程的解是 .
21.解:设牙膏每盒x元,牙刷每支y元.…………………………………………………1分
由题意,得 …………………………………………………… 2分
解得 ……………………………………………………………………… 3分
(盒). ………………………………………………………… 4分
答:第三天卖出牙膏8盒.………………………………………………………………5分
22.解:(1)当m=0 时,该函数为一次函数 ,它的图象与x轴有公共点.
……………………… 1分
当m≠0 时,二次函数 .
.
∵ 无论m取何实数,总有 ≥0,即 ≥0,
∴ 方程 有两个实数根.
∴ 此时函数 的图象与x轴有公共点.……………2分
综上所述,无论m取何实数,该函数的图象与x轴总有公共点.
(2)∵m>0,
∴ 该函数为二次函数,它的图象与x轴的公共点的横坐标为
.
∴ , .………… …………………… 3分
∵ 此抛物线与x轴公共点的横坐标为整数,
∴正整数m=1或3.………………………………………5分
四、解答题(本题共20分,每小题5分)
23.(1)证明:如图2.
∵点C与点A重合,折痕为EF,
∴ ,AE=EC.
∵ 四边形ABCD为平行四边形,
∴ AD∥BC.
∴ .
∴ .
∴ AE=AF.……………………………………1分
∴ AF=EC.
又∵ AF∥EC,
∴ 四边形AFCE是平行四边形.…………… 2分
又AE=AF,
∴ 四边形AFCE为菱形.………………………… 3分
(2)解:如图3,作AG⊥BE于点G,则∠AGB=∠AGE=90°.
∵ 点D的落点为点D′ ,折痕为EF,
∴ .
∵ 四边形ABCD为平行四边形,
∴ AD=BC.
又∵AF=EC,
∴ ,即 .
∵在Rt△AGB中,∠AGB=90°,∠B=45°,AB= ,
∴ AG=GB=6.
∵ 四边形AFCE为平行四边形,
∴ AE∥FC.
∴ ∠4=∠5=6 0°.
∵ 在Rt△AGE中,∠AGE=90°,∠4=60°,
∴ .
∴ .
∴ .…………………5分
24.解:(1)③④.………………………………… 2分
(2)补全统计图见图4. ………………… 3分
1055万人. ………………………… 4分
(3)1.3%.………………………………… 5分
25. 解:(1)补全图形如图5所示.…………………… 1分
答:PG与⊙O相切.
证明:如图6,连接OG .
∵ PF=PG,
∴ ∠1=∠2.
又∵OG=OA,
∴ ∠3=∠A.
∵ CD⊥AB于点E,
∴ ∠A+∠AFE =90°.
又∵∠2 =∠AFE,
∴ ∠3+∠1=90°. ……………………… 2分
即 OG⊥PG.
∵ OG为⊙O的半径,
∴ PG与⊙O相切. …………………… 3分
(2)解:如图7,连接CG.
∵ CD⊥AB于点E,
∴ ∠OEC=9 0°.
∵ DG∥AB,
∴∠GDC=∠OEC =90°.
∵∠GDC是⊙O的圆周角,
∴ CG为⊙O的直径.
∵ E为半径OA的中点,
∴ .
∴ ∠OCE=30°即∠GCP =30°.
又∵∠CGP=90°, ,
∴ . …………………………… 5分
26.解:(1)CAD, ,BC. ……………………………… 3分
.……………………………………………4分
(2)方法1:如图8,以点N为圆心,ON为半径作圆,交直线l于点 , ,则点
, 为符合题意的点.………………………… 5分
方法2:如图9,过点N画NO的垂线 ,画NQ的垂直平分线 ,直线 与
交于点R,以点R为圆心,RN为半径作圆,交直线l于点 , ,
则点 , 为符合题意的点.……………… 5分
五、解答题(本题共22分,第27题7分,第28题7分,第29题8分)
27.解:(1)∵ 一次函数 (k≠0)的图象经过 , 两点,
∴
解得 …………………………… 1分
∴ .…………… 2分
∵ ,
∴ 二次函数图象的顶点坐标为 .………… 3分
(2)①当 时, .………… 4分
如图10,因为 且 ≤0,由图象得2<x≤4.…… 6分
② ≤a< .……………………………7分
28.解:(1)CH=AB. ………………………………… 1分
(2)结论成立.………………………………… 2分
证明:如图11,连接BE.
在正方形ABCD中,
AB=BC=CD=AD,∠A=∠BCD=∠ABC=90°.
∵ DE=DF,
∴ AF=CE.
在△ABF和△CBE中,
∴ △ABF≌△CBE.
∴ ∠1=∠2.…………………………………………3分
∵ EH⊥BF,∠BCE=90°,
∴ H,C两点都在以BE为直径的圆上.
∴ ∠3=∠2.
∴ ∠3=∠1.
∵ ∠3+∠4=90°,∠1+∠HBC=90°,
∴ ∠4=∠HBC.
∴ CH=CB.………………………………………………………………… 5分
∴ CH=AB.………………………………………………………………… 6分
(3) .………………………………………………………………………7分
29.解:(1)点A.………………………………………1分
画图见图12.(画出一个即可)………… 2分
△AMN(或△AJK). …………………… 3分
(2)如图13,作OL⊥EF于点L.
∵ 线段EF为点O的τ型线,
∴ OL即为线段EF关于点O的τ型三角形的高.
∵线段EF关于点O的τ型三角形的面积为 ,
∴ . ……………………………… 4分
∵ , ,
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