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22.2降次——解一元二次方程（2）

教学内容

本节课主要学习运用配方法，即通过变形运用开平方法降次解方程。

教学目标

知识与技能

探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤;能够利用配方法解一元二次方程.

过程与方法

在探索配方法时，使学生感受前后知识的联系，体会配方的过程以及方法。

渗透配方法是解决某些代数问题的一个很重要的方法.

情感态度价值观

继续体会由未知向已知转化的思想方法.

重难点、关键

重点：用配方法解一元二次方程.

难点：正确理解把 形的代数式配成完全平方式.

关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.

教学准备

教师准备：制作课件，精选习题

学生准备：复习有关知识，预习本节课内容

教学过程

一、复习引入

【问题】

(学生活动)请同学们解下列方程

(1) (2) ①

第一题口答，第二题一个学生板书，其他做作业本，目的检验学生对上节课知识的掌握情况。

你会解下面这个方程吗?

(3) ②

让学生总结什么样的方程可以使用直接开平方法求解。

上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式，那么可得

x=± 或mx+n=± (p≥0).

【活动方略】

教师演示课件，给出题目.学生根据所学知识解答问题.

【设计意图】

复习直接开门平方法，解形如(mx+n)2=p(p≥0)的形式的方程，为继续学习引入作好铺垫.

二、探索新知

(一)提出问题

你能用直接开平方法解(1) ③吗?

生：将方程③左右两边都加4，就是刚才做的第②题。

师：也就是说通过加4实现了什么样的目的?

生：使方程的左边变为完全平方的形式，从而可以用直接开平方法求解。

即 ， 即 ……

提出配方的概念：

这种通过配成完全平方的形式来求解初一元二次方程的解的方法，我们把它称为配方法解一元二次方程。

提问：你会怎么解 ④?

生：两边同时加4.

师：很好，不论是解③还是解④，大家的目标很统一，都是想通过配方将方程的左边变为完全平方的形式，右边为非负数，也就是化归为可以利用直接开平方法求解的方程的形式，化归思想是数学中非常重要的思想。很显然，在解这两题过程中有一步是非常重要的，哪一步?

生：配方。

(二)合作探究：

师：那配方是否有规律可循呢?下面我们一起来探究一下

提出问题：那方程两边同时加上的的这个数有没有什么规律呢，也就是配方配上的这个数有什么规律呢?我们一起来做一下下面这组题。

练习：填上适当的数或式，使下列各等式成立：

(1) = ( )2

(2) = ( )2

(3) =( )2

观察上面各式的特点，1)二次项系数都是1，

2)都只含有x的二次项和一次项

3)都要化为完全平方的形式

根据完全平方公式的特点，我们必须填上一个常数，而且这个常数等于一次项系数的一半的平方。

即： = ( )2

因此我们发现若一个完全平方式只给出二次项与一次项，且二次项系数为1时，我们的配方有规律可循，只要加上一次项系数的一半的平方，就能配成完全平方的形式。那我们再回过头来解 ，你会怎么解呢?

教师启发引导学生得出二次项系数为1的一元二次方程 的解法：

1、 移项：将常数项移到方程的右边，使方程的左边只剩下二次项和一次项

2、 配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，使方程的左边能化为完全平方的形式

3、 变形：左边因式分解，右边合并同类项;

4、 利用直接开平方法求解。

现在我和你们一起来实战练习一下

x2+6x-16=0，教师规范解题步骤

移项得：x2+6x=16

配方得： x2+6x+9=16+9，

即

即

老师活动：

在学生讨论方程x2+6x=16的解法时，注意引导学生根据化归的思想，利用配方的方法解决问题，进而体会配方法解方程的一般步骤.

随堂练习：

现在我要检验一下大家对配方法解二次项系数为1的一元二次方程的掌握情况

练习：利用配方法解下列方程

(1)x2-8x + 1 = 0;(2) (3)

学生首先独立思考，自主探索，然后交流配方时的规律.经过分析(1)中经过移项可以化为 ，为了使方程的左边变为完全平方式，可以在方程两边同时加上42，得到 ，得到(x-4)2=15;

做完的同学做下面3题

(4)-x2+8x=1;(5) (6)

【活动方略】学生活动：

(4)中二次项系数是-1，此时可以首先把方程的两边同时除以二次项系数-1，然后再进行配方，

(5)中二次项系数不是1，方程两边先除以4，再移项发现就是第(2)题，按照(2)的方式进行处理.

(6)可通过变形化为(3)处理

在解这三题的过程中，再次让学生体会化归的思想

教师活动：

在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题(比如遇到二次项系数不是1的情况该如何处理)，然后让学生分析利用配方法解方程时应该遵循的步骤：

(1)系数化1：二次项系数化为1

(2)移项：把方程的常数项通过移项移到方程的右边;

(3)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方;

(4)变形：左边因式分解，右边合并同类项;

(5)直接开平方求解.

【设计意图】主体探究、通过解几个具体的方程，归纳作配方法解题的一般过程.

三、知识应用，挑战自我

1、 书本问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 cm，并且面积为16 cm2，场地的长和宽分别是多少?

2、 利用配方法解方程

( )

思考：利用配方法解一元二次方程

【设计意图】 检查学生对基础知识的掌握情况.

【设计意图】 从特殊到一般，为下节课做铺垫。

四、 课堂总结

1.问题：

本节你遇到了什么问题?在解决问题的过程中你采取了什么方法?

如果一个一元二次方程不能直接开平方解，可把方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，再开平方降次解。这种通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法.

2.作业：每课一练

【活动方略】教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程.

学生独立完成作业，教师批改、总结.

【设计意图】通过归纳总结，课外作业，使学生优化概念，内化知识

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