2014年初三年级数学寒假作业试题
很多同学因为假期贪玩而耽误了学习,以至于和别的同学落下了差距,因此,小编为大家准备了这篇2014年最新初三年级数学寒假作业试题,希望可以帮助到您!
26.(本小题满分8分)
将一副三角尺如图①摆放(在 中, , ;在 中, , 。),点 为 的中点, 交 于点 , 经过点 。
图① 图②
⑴求 的度数;
⑵如图②,将 绕点 顺时针方向旋转角 ,此时的等腰直角三角尺记为 , 交 于点 , 交 于点 ,试判断 的值是否随着 的变化而变化?如果不变,请求出 的值;反之,请说明理由。
解:⑴由题意知: 是 中斜边 上的中线,
∵在 中, 且 ,有等边 ,
⑵ 的值不会随着 的变化而变化,理由如下:
∵ 的外角 ,
∵在 和 中, ,
∽ , ,又∵由⑴知 ,
∵在 中, ,在等腰 中,
。
27.(本小题满分10分)
如图,直线 与 轴相交于点 ,与 轴相交于点 ,
点 从点 出发,以每秒 个单位长度的速度沿直线 向点 移动。
同时,将直线 以每秒 个单位长度的速度向上平移,交
于点 ,交 于点 ,设运动时间为 秒。
⑴证明:在运动过程中,四边形 总是平行四边形;
⑵当 取何值时,四边形 为菱形?请指出此时以点 为圆心、 长为半径的圆与直线 的位置关系并说明理由。
解:⑴∵直线 与 轴相交于点 ,与 轴相交于点
直线 的解析式为 ,即
∵将直线 以每秒 个单位长度的速度向上平移 秒得到直线
, ,直线 的解析式为
∵在直线 中,点 在 轴上,令 ,则 , ,
在 中,
∵点 从点 出发,以每秒 个单位长度的速度沿直线 向点 移动 秒
, ,又∵ , ,
∵ , ,在运动过程中,四边形 总是平行四边形;
⑵欲使四边形 为菱形,只需在 中满足条件 ,即 ,解得
当 时,四边形 为菱形;
此时以点 为圆心、 长为半径的圆与直线 相切,理由如下:
∵ , ,
∵ , , , ,在 中,
过点 作 于点 ,则
∵在 和 中, 且 , ∽
,即 , ,点 到直线 的距离等于 的半径
以点 为圆心、 长为半径的圆与直线 相切。
另解:(在证明 与直线 相切时,也可利用等积法求得点 到直线 的距离。)
设点 到直线 的距离为 ,则 ,连结 ,
∵ 且 、
,解得 ,点 到直线 的距离与 的半径相等,即
以点 为圆心、 长为半径的 与直线 相切。
再解:(巧用菱形对角线的性质和角平分线性质定理)
连结 ,则 是菱形 的对角线, 平分
∵ , 是点 到直线 的距离,
点 到直线 的距离=点 到直线 的距离
以点 为圆心、 长为半径的圆与直线 相切。
28.(本小题满分10分)
已知某二次函数的图象与 轴分别相交于点 和点 ,
与 轴相交于点 ,顶点为点 。
⑴求该二次函数的解析式(系数用含 的代数式表示);
⑵如图①,当 时,点 为第三象限内抛物线上的一个动点,
设 的面积为 ,试求出 与点 的横坐标 之间的函数
关系式及 的最大值;
⑶如图②,当 取何值时,以 、 、 三点为顶点的三角形
与 相似?
解:⑴∵该二次函数的图象与 轴分别相交于点 和点 ,
设该二次函数的解析式为
∵该二次函数的图象与 轴相交于点 ,
,故
该二次函数的解析式为
⑵当 时,点 的坐标为 ,该二次函数的解析式为
∵点 的坐标为 ,点 的坐标为
直线 的解析式为 ,即
过点 作 轴于点 ,交 于点
∵点 为第三象限内抛物线上的一个动点且点 的横坐标为
点 的坐标为 ,点 的坐标为 ,点 的坐标为
当 时, 有最大值 ;
另解:
∵ , , , ,
(其余略)
再解:
⑶∵ ,点 的坐标为
∵ 是直角三角形,欲使以 、 、 三点为顶点的三角形与 相似,必有
①若在 中, ,则 ,即
化简整理得: ,∵ , (舍去负值)
此时, , ,
∵ 且 , 与 相似,符合题意;
②若在 中, ,则 ,即
化简整理得: ,∵ , (舍去负值)
此时, , ,
虽然 ,但是 , 与 不相似,应舍去;
综上所述,只有当 时,以 、 、 三点为顶点的三角形与 相似。
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