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　　直线与平面垂直;平面与平面垂直;线面成角、面面成角

　　二. 本周教学重、难点：

　　1. 掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理，了解三垂线定理及其逆定理，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。

　　2. 掌握直线与平面、平面与平面所成角的概念和作法，并会计算所求角的大小。

　　【典型例题】

　　[例1] 如图所示，在棱长为直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的正方体直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运中，E、F分别是棱AB和BC的中点，EF与BD交于点G。

 

　　(1)求二面角直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的大小;

 

　　(2)M为棱直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运上的一点，当直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的值为多少时，能使直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运平面EFB1?请给出证明。

 

　　

直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

　解：(1)在底面AC中 ∵ AC⊥BD，EF//AC

　　∴ BG⊥EF，连结B1G 又 ∵ B1B⊥底面AC ∴ B1G⊥EF

　　直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运是二面角直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的平面角

 

　　直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

 

　　∴ 二面角直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的正切值为直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

 

　　∴ 二面角直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的大小为直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

 

　　(2)当直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运时能使直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运平面EFB1

 

　　证明如下：直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运面AB1，知D1M在面AB1的射影是A1M

 

　　∵ 直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

∴ 直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

 

　　而直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

∴ 直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

 

　　∴ 直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运，因此直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

同理，直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

 

　　∴ 直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运平面EFB1

 

　　[例2] 如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运。求证：MN⊥CD，MN⊥平面PCD。

 

　　

直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

　　证明：连结AC、BD交于O，连结OM、ON、PM、MC

　　则NO//PA，又PA⊥平面ABCD

　　∴ NO⊥平面ABCD ∴ NO⊥CD，又MO⊥CD

　　∴ CD⊥平面MON ∴ CD⊥MN

　　在直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运中，直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运∴ PA=AD

 

　　又 ∵ AM=BM，PA⊥AM，BC⊥BM ∴ 直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

 

　　∴ PM=MC ∵ N为PC的中点 ∴ MN⊥PC

　　又 直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运∴ MN⊥平面PCD

　[例3] 如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AB=CD=直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运，AD=BC=直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运，直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运，直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运，将其沿对角线BD折成直二面角。

 

　　(1)证明AB⊥平面BCD;

　　(2)证明平面ACD⊥平面ABD;

　　(3)求二面角直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的大小。

 

　　

直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

　解析：(1)证明：在直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运中，由余弦定理，得直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

　　直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

　　∴ 直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

　　∴ 直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

　　又 ∵ 二面角直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运为直二面角，直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运平面ABD，DB=平面直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运平面BDC

　　∴ AB⊥平面BDC

　　(2)证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

　　∴ DC⊥BD ∵ AB⊥平面BDC，AB直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运平面ABD

　　∴ 平面ABD⊥平面BDC

　　又 ∵ BD=平面直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运平面BDC，DC直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运平面BDC，DC⊥平面ABD

　　又 ∵ DC直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运平面ADC ∴ 平面ADC⊥平面ABD

　　(3)作BQ⊥CE于Q，由平面几何知识，得直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

 

　　连结AQ，由三垂线定理，AQ⊥CE ∴ 直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运是二面角直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的平面角

 

　　在直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运中，直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

 

　　∴ 直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运即二面角直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的大小为直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

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