求异面直线所成的角
求异面直线所成的角,一般有两种方法,一种是几何法,这是高二数学人教版(A)版本倡导的传统的方法,其基本解题思路是“异面化共面,认定再计算”,即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中,结合余弦定理来求。还有一种方法是向量法,即建立空间直角坐标系,利用向量的代数法和几何法求解,这是高二数学人教版(B)倡导的方法,下面举例说明两种方法的应用。
例:长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2cm,AD=1cm,求异面直线A1C1与BD1所成的角。
解法1:平移法
设A1C1与B1D1交于O,取B1B中点E,连接OE,因为OE//D1B,所以∠C1OE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角△C1OE中
所以异面直线所成的角为
图1
解法2:补形法
在长方体ABCD—A1B1C1D1的面BC1上补上一个同样大小的长方体,将AC平移到BE,则∠D1BE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角,在△BD1E中,BD1=3,,
所以异面直线A1C1与BD1所成的角为
图2
解法3:利用公式
设OA是平面α的一条斜线,OB是OA在α内的射影,OC是平面α内过O的任意一条直线,设OA与OC、OA与OB、OB与OC所成的角分别是、1、2,则(注:在上述题设条件中,把平面α内的OC换成平面α内不经过O点的任意一条直线,则上述结论同样成立)D1B在平面ABCD内射影是BD,AC看作是底面ABCD内不经过B点的一条直线,BD与AC所成的角为∠AOD,D1B与BD所成角为∠D1BD,设D1B与AC所成角为,,。
所以
所以异面直线A1C1与BD1所成的角为
图3
解法4:向量几何法:
设为空间一组基向量
所以异面直线A1C1与BD1所成的角为
图4
解法5:向量代数法:
以D为坐标原点,DC、DA、DD1分别为x、y、z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,1,0)、C(2,0,0),B(2,1,0)、D1(0,0,2),
所以异面直线A1C1与BD1所成的角为
图5
解法6:利用公式
定理:四面体A—BCD两相对棱AC、BD间的夹角必满足
图6
解:连结BC1、A1B在四面体中,异面直线A1C1与BD1所成的角是,易求得
图7
由定理得:
所以
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