高考数学知识点:三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)
高考数学知识点:三角函数线(正弦线、余弦线、正切线) 三角函数线的定义:
设任意角α的顶点在原点O,始边与x轴的正半轴重合,终边与单位圆相交于点P(x,y),过P点作x轴的垂线,垂足为M,过点A(1,0)作单位圆的切线,高二,
设它与角α的终边或其反向延长线相交于点T,则有向线段MP、OM,AT分别叫做角α的正弦线,余弦线,正切线,即:sinα=MP,cosα=OM,tanα=AT,如下图:
注:线段长度表示三角函数值大小,线段方向表示三角函数值正负。
关于三角函数线,要注意以下几点:
(1)正弦线、余弦线、正切线都是有向线段,利用它们的数量来表示三角函数值,是数形结合的典型体现。三角函数线表示三角的函数值的符号规定如下:正弦线MP、正切线AT方向与y轴平行,向上为正,向下为负;余弦线OM在x轴上,向右为正,向左为负。
(2)作三角函数线时,所用字母一般都是固定的,书写顺序也不能颠倒。特别要注意正切线必在过A(1,0)的单位圆的切线上(其中二、三象限角需作终边的反向延长线)。
(3)对于终边在坐标轴上的角,有时三角函数线退化为一个点,有时又为整个半径。当角α的终边在y轴上时,角α的正切线不存在。
(4)当时,正弦线、余弦线、正切线与角α并不是一一对应的。一般地,每一个确定的MP、OM、AT都对应两个α的值。
诱导公式:
公式一
公式二
公式三
公式四
公式五
公式六
规律:奇变偶不变,符号看象限。即形如(2k+1)90°±α,则函数名称变为余名函数,正弦变余弦,余弦变正弦,正切变余切,余切变正切。形如2k×90°±α,则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变,符号看象限”意义:
的三角函数值.
(1)当k为偶数时,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号;
(2)当k为奇数时,等于α的异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。
记忆方法一:奇变偶不变,符号看象限:
记忆方法二:无论α是多大的角,都将α看成锐角.
以诱导公式二为例:
若将α看成锐角(终边在第一象限),则π十α是第三象限的角(终边在第三象限),正弦函数的函数值在第三象限是负值,余弦函数的函数值在第三象限是负值,正切函数的函数值在第三象限是正值.这样,就得到了诱导公式二.
以诱导公式四为例:
若将α看成锐角(终边在第一象限),则π-α是第二象限的角(终边在第二象限),正弦函数的三角函数值在第二象限是正值,余弦函数的三角函数值在第二象限是负值,正切函数的三角函数值在第二象限是负值.这样,就得到了诱导公式四.
诱导公式的应用:
运用诱导公式转化三角函数的一般步骤:
特别提醒:三角函数化简与求值时需要的知识储备:①熟记特殊角的三角函数值;②注意诱导公式的灵活运用;③三角函数化简的要求是项数要最少,次数要最低,函数名最少,分母能最简,易求值最好。
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