趣味数学:妙想奇思割手链
割手链
a.格罗莉亚是来自阿肯色的一位年轻女士,正在加利福尼亚走访,她想在旅店租一间房间,准备住7天。
b.店员:房间20美元一天,必须付现金。
格罗莉亚:对不起,先生,我一点儿现金没有,但我有一个金手链,七节中每节价值超过20美元。
c.店员:好吧,把手链给我。
格罗莉亚:不,现在不行,我找个手饰匠把手链割开,每天我给你一节,最后有钱时我再把手链赎回来。
d.店员最后同意了,现在该格罗莉亚决定怎样割手链了,她反而为难了。
e.格罗莉亚:我一定得小心,手饰匠每多割一节,每多接一节都要手工钱。
f.想了一会,格罗莉亚发现她不必每节都割,因为地可以来回兑换。当她想出能割几节时,她简直难以相信。你算出割几节了吗?
g.只需割一节,它应是从一端数第三节,把手链分成三段,各为1、2、4节,这足够通过来回兑换使店员每天收到一节。
难解的链
解决这个问题需要两个重要的观点。首先按不同方法形成1、2、3、4、5、6、7节的链中,最小集合的链是1、2、4节的链,即形成等比数列,正如我们在上一个问题中知道的这是作为二进制基础的幂系列。
第二是认识到仅割一次就能把手链分成所需的三段。
这个问题也可推广到较长的链中。比如假设格罗莉亚有一条63节的金链,她想像手链一样割开使用,一天用一节。割三个环就能达到目的。你知道怎么办吗?对于任意长度的链你能想出一般方法来解决问题吗
这个问题的一个有趣的变化就是几节链首尾相连作为一个封闭的环。例如,假设格罗莉亚有一条项链,是一条79节金环的封闭链,一环花一天,要割几环就可以花79天。
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