2011年中考数学压轴题
1.抛物线经过A(-3,0)、B(0,4)、C(4,0)三点.
(1) 求抛物线的解析式.
(2)已知AD = AB(D在线段AC上),有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动;同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动,经过t 秒的移动,线段PQ被BD垂直平分,求t的值;
(3)在(2)的情况下,抛物线的对称轴上是否存在一点M,使MQ+MC的值最小?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由。
(注:抛物线 的对称轴为 )
解:设抛物线的解析式为 ,
依题意得:c=4且 解得 所以 所求的抛物线的解析式为 (2)连接DQ,在Rt△AOB中, 所以AD=AB= 5,AC=AD+CD=3 + 4 = 7,CD = AC - AD = 7 5 = 2
因为BD垂直平分PQ,所以PD=QD,PQBD,所以PDB=QDB
因为AD=AB,所以ABD=ADB,ABD=QDB,所以DQ∥AB
所以CQD=CBA。CDQ=CAB,所以△CDQ∽ △CAB
即 所以AP=AD DP = AD DQ=5 = ,
所以t的值是 (3)答对称轴上存在一点M,使MQ+MC的值最小
理由:因为抛物线的对称轴为 所以A(- 3,0),C(4,0)两点关于直线 对称连接AQ交直线 于点M,则MQ+MC的值最小过点Q作QEx轴,于E,所以QED=BOA=90 DQ∥AB, BAO=QDE, △DQE ∽△ABO 即 所以QE= ,DE= ,所以OE = OD + DE=2+ = ,所以Q( , )
设直线AQ的解析式为 则 由此得 所以直线AQ的解析式为 联立 由此得 所以M 则:在对称轴上存在点M ,使MQ+MC的值最小。
2.如图9,在平面直角坐标系中,二次函数 的图象的顶点为D点,与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点, A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),
OB=OC ,tanACO= .
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)经过C、D两点的直线,与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)如图10,若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,△APG的面积最大?求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.
(1)由已知得:C(0,-3),A(-1,0) 1分
将A、B、C三点的坐标代入得 2分
解得: 3分
所以这个二次函数的表达式为: 3分
(2)存在,F点的坐标为(2,-3) 4分
理由:易得D(1,-4),所以直线CD的解析式为: E点的坐标为(-3,0) 4分
由A、C、E、F四点的坐标得:AE=CF=2,AE∥CF
以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
存在点F,坐标为(2,-3) 5分
(3)过点P作y轴的平行线与AG交于点Q,
易得G(2,-3),直线AG为 .8分
设P(x, ),则Q(x,-x-1),PQ .
9分
当 时,△APG的面积最大
此时P点的坐标为 , . 10分
3.已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3)。
⑴求抛物线的解析式;
⑵设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
⑶若点M是抛物线上一点,以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M的坐标。
⑴∵抛物线与y轴交于点C(0,3),
设抛物线解析式为 1分
根据题意,得 ,解得 抛物线的解析式为 2分
⑵存在。3分
由 得,D点坐标为(1,4),对称轴为x=1。4分
①若以CD为底边,则PD=PC,设P点坐标为(x,y),根据勾股定理,
得 ,即y=4-x。5分
又P点(x,y)在抛物线上, ,即 6分
解得 , ,应舍去。 。7分
,即点P坐标为 。8分
②若以CD为一腰,因为点P在对称轴右侧的抛物线上,由抛物线对称性知,点P与点C关于直线x=1对称,此时点P坐标为(2,3)。
符合条件的点P坐标为 或(2,3)。9分
⑶由B(3,0),C(0,3),D(1,4),根据勾股定理,
得CB= ,CD= ,BD= ,10分
,
BCD=90,11分
设对称轴交x轴于点E,过C作CMDE,交抛物线于点M,垂足为F,在Rt△DCF中,
∵CF=DF=1,
CDF=45,
由抛物线对称性可知,CDM=245=90,点坐标M为(2,3),
DM∥BC,
四边形BCDM为直角梯形, 12分
由BCD=90及题意可知,
以BC为一底时,顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;
以CD为一底或以BD为一底,且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。
综上所述,符合条件的点M的坐标为(2,3)。13分
4.已知:抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长(OB
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)求此抛物线的表达式;
(3)求△ABC的面积;
(4)若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),过点E作EF∥AC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(5)在(4)的基础上试说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并求出此时点E的坐标,判断此时△BCE的形状;若不存在,请说明理由.
解:(1)解方程x2-10x+16=0得x1=2,x2=8
∵点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,且OB
点B的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,8)
又∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-2
由抛物线的对称性可得点A的坐标为(-6,0)
A、B、C三点的坐标分别是A(-6,0)、B(2,0)、C(0,8)
(2)∵点C(0,8)在抛物线y=ax2+bx+c的图象上
c=8,将A(-6,0)、B(2,0)代入表达式y=ax2+bx+8,得
解得
所求抛物线的表达式为y=-x2-x+8
(3)∵AB=8,OC=8
S△ABC =88=32
(4)依题意,AE=m,则BE=8-m,
∵OA=6,OC=8, AC=10
∵EF∥AC △BEF∽△BAC
= 即= EF=
过点F作FGAB,垂足为G,则sinFEG=sinCAB=
= FG==8-m
S=S△BCE-S△BFE=(8-m)8-(8-m)(8-m)
=(8-m)(8-8+m)=(8-m)m=-m2+4m
自变量m的取值范围是0
(5)存在. 理由:
∵S=-m2+4m=-(m-4)2+8 且-0,
当m=4时,S有最大值,S最大值=8
∵m=4,点E的坐标为(-2,0)
△BCE为等腰三角形.
5.已知抛物线 与 轴的一个交点为A(-1,0),与y轴的正半轴交于点C.
⑴直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与 轴的另一个交点B的坐标;
⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时,求抛物线的解析式;
⑶坐标平面内是否存在点 ,使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
解:⑴对称轴是直线: ,点B的坐标是(3,0). 2分
说明:每写对1个给1分,直线两字没写不扣分.
⑵如图,连接PC,∵点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0),
AB=4. 在Rt△POC中,∵OP=PA-OA=2-1=1,
b= 3分
当 时, 4分
5分
⑶存在.6分
理由:连接AC、BC.设点M的坐标为 .
①当以AC或BC为对角线时,点M在x轴上方,此时CM∥AB,且CM=AB.
由⑵知,AB=4,|x|=4, .
x=4.点M的坐标为 .9分
说明:少求一个点的坐标扣1分.
②当以AB为对角线时,点M在x轴下方.
过M作MNAB于N,则MNB=AOC=90.
∵四边形AMBC是平行四边形,AC=MB,且AC∥MB.
CAO=MBN.△AOC≌△BNM.BN=AO=1,MN=CO= .
∵OB=3,0N=3-1=2.
点M的坐标为 . 12分
说明:求点M的坐标时,用解直角三角形的方法或用先求直线解析式,
然后求交点M的坐标的方法均可,请参照给分.
综上所述,坐标平面内存在点 ,使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形.其坐标为
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