一场数学竞赛：2017美国总统大选之争_生活中数学

一场数学竞赛：2017美国总统大选之争

导读：美国大选刚结束，结果大家都知道吧?这查字典数学网小编末宝就不多说了。对于这个世纪之争，外人看热闹，内行看门道，那么，作为孩纸的我们看什么呢?

大人可能更多的是会关注谈话内容或者选举结果，但是有那么一些小孩会关注美国总统是怎么选出来的?如果你遇到了孩子对这个问题好奇，你可以这么和小孩解释 ...其实里面有很多很重要的数学问题。

美国总统大选如同一场数学竞赛

美国总统选举过程漫长而复杂，由于美国采取的不是一人一票的直接民主，而是有复杂计算的间接民主，初选时每个州都有自己的投票规则，党代表票的计算方式也相当错综复杂。因此，美国总统大选可以说更像一场数学竞赛。

在“奇葩”的大选初选阶段，美国50个州，每个州都有自己的规则，有的州是安静排队投票(Primary)，有的州则是像辩论大会那样的党团会议(Caucus)。投票后，每个州的计票方式也不一样，搞到后来甚至投硬币也能决定!

由于美国实行间接民主，因此老百姓的票其实是间接地投给了党代表们，而不是直接投给总统参选人，这计算就更复杂了，每一个州都不太一样。以今年4月怀俄明州的民主党初选为例，当地人民的投票结果显示桑德斯狂胜希拉里12个百分点，但最后，输掉的希拉里却拿到跟桑德斯一样多的党代表票，计算方式实在是错综复杂，说多了都是泪……

选举结果是对选民意见的反映吗?

每到大选，美国社会各界就全体总动员。政治家当然是到处拉选票，各大媒体更是评论加民意调查加八卦候选人，各种招数都使出来吸引眼球。连不食人间烟火的数学家也不例外。

2008年初的美国数学年会就有一个关于选举中的数学问题的报告，临近大选的那一期数学会刊又有一篇相关文章。文章中的一些例子很容易对大众讲清楚，我这里就把它们整理出来与大家分享。

主要结论是：在竞选者实力接近的时候(各方支持者数量差不多)，选举结果只是对选举规则的反映，而不一定是对选民意见的反映。

什么叫对选举规则的反映?这结论听起来怎么有点违背常理。要说清楚这个问题，我们先来看一个例子。

假设有三个候选人A，B，C。11个人来投票，每个投票人列出他们对这三个人的支持程度，也就是给这三个人排一个从支持到不支持的序。结果如下：

如果选举规则是每人只选一个人，根据上面列出的表我们可以看出A会赢。只选一个人的结果是A>C>B(得票依次是5，4，2)。如果选举规则是每人可以选两人，然后再从前两名中挑出得票最多的(相当于初选加复选)，我们可以看到其结果是B>C>A(得票依次是9，8，5)。这个例子说明，同样的选民，同样的意向，因为选举规则的不同可以得出完全相反的结论。还有一些地方(比如欧洲一些地方的选举)对意向采用Borda加权(起始于1770年)。

对每个意向表，第一名得两分，第二名得一分。最后把每个人的得分加起来看谁的分多谁当选。如果对上面的意向表采用这个Borda加权，我们得出另一个不同的结果C>B>A(依次得分是12，11，10)。如果用另外的加权方法，我们还可以得出别的不同结果。

同样的意向表，不同的加权，到底会产生多少个不同的结果?有定理说：

对N个候选人，存在一个意向表使得不同的加权会产生(N-1)*(N-1)!个不同的结果。

显然，对加权的限制是前面的权要大于等于后面的权。另外还要求最后一名的权是0。在这种条件下，如果有10个候选人(比如美国的总统初选)，同样的意向表可以产生超过三百万种不同的结果。

有人说数学上证明的存在例子都是人为造出来的特殊情况，实际选举出现这种特例的机会是不多的。对这些怀疑者正好有另一个定理等在那里回答。该定理说：

如果有三个候选人，他们的支持度差不多(没有人有特别大的优势)，则有大于三分之二的可能性(实际数是69%)选举规则会改变选举结果。

三分之二可不是一个小数，比一半大多了。也就是说当各方实力接近的时候，选举规则会改变选举结果的时候比不会改变结果的时候多一倍。

以2008年的大选为例，如果把全体美国人的意向列一个意向表，我们几乎可以肯定不同的规则会产生不同的结果。也就是说对这个意向表不同的加权可以产生希拉里赢，或者奥巴马赢，或者麦凯恩赢。

这种现象并不只在选总统的时候出现，在日常生活中也会冒出来，甚至影响到你自己。比如你去面试一个工作，总共四个面试者，A，B，C，D。四个人每个人做一个报告。听报告的一共30个人。听完报告后这30个给出每人的意向表，结果如下：

假设你是D，根据这个意向表，你就没有戏了。因为只有一个位置，所以只有一个人能得到。按第一票算，其次序是A>B>C>D(得票依次是9，8，7，6)。显然A胜。正当他们准备打电话通知A面试成功的时候，C打电话来说他弃权，因为他已经接受了另一个工作。初看起来，C排第三，他的弃权对只选一个人的结果不会有影响。其实不然，如果你把上面的意向表中的C都去掉，你会发现结果完全不同了。因为C的7票有2票给了B，5票给了你(D)。最后的结果是D>B>A(得票依次是11，10，9)

如此的例子还有很多，单就上面的这个例子看，任何一个人弃权都会改变结果的次序。对这样的混乱现象有人用混沌来形容。

最后再回到开始的那句话：在竞选人实力差不多的情况下，选举结果是对选举规则的反映，而不一定是对选民意向的反映。

数学是一门潜移默化的学科，你会发现生活的每个方面都有它的影子存在，只要你足够细心，数学也是会很好玩的。更对趣味数学，敬请期待查字典数学网。

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