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当前位置： 查字典数学网 > 学习园地 > 名师指点 > 切莫忽视一元二次方程中的隐含条件

一元二次方程问题是初中代数之重点，也是中考之热点。许多同学在解题时，由于对题目中的隐含条件重视不够，在平时作业或考试当中往往出现错解。现将常见的错误情况公布于众，以期引起广大师生的共同注意。

错误之一：忽视二次项系数不能为0

例1、已知关于的一元二次方程的两根为、。问：为何值时，?

误解：∵关于的一元二次方程的两根为、，根据题意，由求根公式得：

，

即，解得：

∴当时，。

分析：既然是一元二次方程，那么这里就有一个隐含条件，即，也就是;还有，方程中的一次项系数含有，这就意味着被开方数，即，这也是题目中的一个隐含条件，综合起来，即<，而上述解答中就忽视了这个条件。另外，既然方程有两个根，那么到底是两个相等的根还是两个不相等的根呢?这得由判别式来确定，所以还应求出判别式的值：，由于<，所以可判定>0，即方程

有两个不相等的实数根。而又因为，所以可判定，即，由韦达定理得：，又由于<，解得正确答案为：。

例2、关于的一元二次方程有两个实数根，求的值.。

误解：∵方程有两个实数根，∴Δ≥0，

即解之得

分析：，即时，原方程为一元一次方程。

所以，正确的答案应为<2，且。

错误之二：忽视负的平方根和算术平方根的非负性

例3、解方程：

误解：

∴，

∴，

∴

分析：此解错就错在由到，忽视了平方根还有一个负的，导致丢掉了一个解。

正确的解为：

∴，

∴

∴，

∴原方程的解为：，

例4、已知是方程的一根，求作以和为根的一元二次方程。

误解：把代入原方程，得。解之得：，。

⑴当时，，，∴所求的一元二次方程为;

⑵当时，，，∴所求的一元二次方程为。

分析：此解主要错在未考虑到这一问题。因而应舍去。

正解应为：所求的一元二次方程为。

 

错误之三：忽视结论的多解情况

例5、若关于x的方程只有一个解，试求的值与方程的解.

误解：将原方程化简，得

∴当时，原方程有唯一解

分析：将原方程化简，得：，应分为两种情况讨论。

①当时，原方程有唯一解;

②当时，方程

的判别式为：>0

∴方程

总有两个不同的实数根，按题设原方程只有一个解，因此必有一根是原方程的增根，从原方程知道，增根只可能是使即或.

显然，0不是的根，故是此方程的根。

将代入得：;

因为一根是，，所以由根与系数的关系可求出方程的另一根(应用两根之和或两根之积结果相同)，为：，

∴当时，原方程也有唯一的解为.

例6、已知、分别满足和，则的值是多少?

误解：由题意可知、应是方程()的两个根，，

∵，∴△>0，

∴方程的两根不等，

根据韦达定理得：，，

∴

分析：既然、分别满足和，那么就有

这种情况，而上述解答看似很合理，却忽视了

这种情况。这其实是一个“陷阱”，应必须考虑到这种情况。

在时有上述结论存在，而当时，。

∴本题正确的解应为或2

那么弄丢这种存在情况的原因在哪里呢?

主要是在于把、视为方程()的两个根，这就自然而然地忽视了

这种情况的存在了，因为的判别式在的情况下>0，就没有的这种情况了。

错误之四：忽视二次方程的△的取值

例7、已知关于的二次方程的两个实数根的平方和为17，求的值。

误解：设方程的两个实数根为、，

由韦达定理得：，，

∴，即，

解得：，

分析：设方程的两个实数根为、，利用韦达定理求得：，，

再由两个实数根的平方和为17，得

解得：，

这样解看似合理的，但最关键的一点是忽视了

的判别式△的取值情况。

当时，<0

化简得，方程无实数根;

当时，>0，方程有实数根。故只取。

例8、已知、是方程的两实数根，且，求的值。

误解：根据题意由韦达定理得：，

∵，即，

∴。

解之得：，。

分析：解题时只注意到方程两根的等量关系，而忽视了方程有两个实根时Δ≥0这一先决条件，而当时△<0，故应当舍去。

∴正解应为。

错误之五：忽视对题目中关键词的辨析

例9、为何实数时，方程有实数根。

误解：要使方程有实数根，只需，即，

解之得：，又∵，∴，且。

分析：解法中对方程“有实根”和“有两个实根”未加以辨析，而当时，原方程为一元一次方程，也有实根，是。

所以此题错在误认为原方程一定是一元二次方程，而没想到也可以是一元一次方程。

∴正解为。

例10、、是方程的两实根，求的最小值。误解：由已知得，，

∴

∴当时，的最小值为1。

分析：解法中没有注意到有实根的意义和本质是什么，因而忽视了方程有两实根时这一前提条件。

∵当时，△<0，此时方程无实根，∴正解的解法还应当求出的取值范围。

∵原方程有两实根解，

∴，解得：，

∴当时，的最小值为

 

错误之六：忽视对根的符号的考察

例11、已知、是方程的两个实根。求的值。

 

误解：设，则，

由韦达定理得：，∴，∴。

分析：∵，，∴可知<0，且<0，

∴<0，故应当舍去。∴正确的解应当为。

例12、设方程的两根恰好是直角三角形两锐角的正弦值。求的值。

误解：设原方程两根为，则，;

又由题意知。

即，解之得，

而当时，△>0，∴。

分析：解法中考虑△>0是非常必要的，但是却忽视了为两锐角正弦值，应当满足0<<1，0<<1，即>0，>0。

而当时，<0，<0。故

应当舍去，正解为。

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标签： 条件 切莫忽视一元二次方程中的隐含条件

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