《勾股定理的应用》_教材解析

《勾股定理的应用》

勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。《勾股定理的应用》由数学网为你提供，欢迎大家学习。

一、一周知识概述

勾股定理可以解决直角三角形的许多问题，在现实生活和数学中有着广泛的应用.

(1)理解方向角等概念，根据题意画出图形，利用定理或逆定理解决航海中距离问题;

(2)判定实际问题中两线段是否垂直的问题。以已知线段为边构造三角形，根据三边的长度，利用勾股定理的逆定理解题;

(3)解决折叠问题。正确画出折叠前、后的图形，运用勾股定理及方程的思想，用代数方法解题;

(4)圆柱侧面上两点问题。转化为将侧面展开成平面长方形，构造直角三角形，利用勾股定理解决;

(5)其它涉及直角三角形的问题。

二、重、难点知识

应用勾股定理及其逆定理对具体问题具体分析，灵活运用定理是重点也是难点。

三、典型例题讲解

例1、有一圆柱形油罐，底面周长是12米，高是5米，现从油罐底部A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，问梯子最短需多少米?

分析：

环绕油罐建梯子，想到将圆柱沿AB展开，得到一个长方形，由两点之间，线段最短，构造直角三角形，再利用勾股定理解题.

解：

如图所示，将圆柱的侧面沿AB展开，得到长方形AA′B′B，

则AB=A′B′=5米，

AA′=BB′=12米，∠A′=90°.

因此沿AB′建梯子，梯子最短.

在Rt△AA′B′中，

AB′2=A′A2+A′B′2=122+52=169.

∴AB′=13(米).

答：梯子最短需13米.

例2、小明想知道旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了2米，当他把绳子的下端拉开距旗杆底部8米时，发现绳子的末端刚好接触地面，求旗杆的高度.

分析：

旗杆与地面垂直，绳子拉开后构成直角三角形，其中一直角边为8米，斜边比另一直角边长2米，根据勾股定理，可列方程求解.

解：

如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=8米，AC比AB长2米.

设AB=x，则AC=x+2，

由勾股定理，得AC2=AB2+BC2，

∴(x+2)2=x2+82，∴x=15(米).

答：旗杆的高度是15米.

例3、在一棵树的10 m高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20 m的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树有多高?

分析：

如图所示，一只猴子经过的路径B→C→A，共走了10+20=30(m)，另一只猴子经过的路径是B→D→A，也走了30 m，且树垂直于地面，于是此问题转化到直角三角形中，利用勾股定理解决.

解：

如图所示，设BD=x，

则CD=BD+BC=x+10.

∴BC+CA=BD+DA=30，∴AD=30-BD=30-x.

在Rt△ADC中，AD2=CD2+AC2，

∴(30-x)2=(x+10)2+202，解得x=5.

∴CD=x+10=15(m).

答：这棵树高15 m.

小结：此题的关键是正确地画出图形，运用勾股定理及方程的思想解决问题.

例4、如图所示，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160米，假设一拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶，周围100米以内会受到噪声的影响，那么学校是否会受到噪声的影响?说明理由，若受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，则学校受影响的时间有多长?

分析：

学校A到公路MN的距离AB=

PA=80(米)，因为80<100，所以学校会受到噪声的影响.要求受影响的时间，就需求出受影响时拖拉机行驶的路程，因此，在MN上找到两点C，D，使AC=AD=100米，那么CD间的距离就是受影响时拖拉机行驶的路程，由勾股定理及等腰三角形的性质，可求出C，D之间的距离.

解：

过A点作AB⊥MN，垂足为B，

∵∠QPN=30°，∴AB=

AP=

×160=80(米).

∵80<100，∴学校会受到噪声的影响.

在MN上找两点C，D，使AC=AD=100(米).

这说明拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到C处时，学校开始受到噪声的影响，当行驶到D处时，学校开始脱离噪声的影响.

由勾股定理，得BC2=AC2-AB2=1002-802=3600(米2)，∴BC=60米.

∴CD=2BC=2×60=120米.

∴学校受到噪声影响的时间为120÷1000÷18=

(时)=24(秒).

小结：

解几何类应用题的关键，是将实际问题转化为几何问题，利用数形结合的思想方法进行求解.

例5、如图所示，南北线PQ为我国的领海线，PQ以东为我国的领海，以西为公海，晚上11时28分，我边防反偷渡巡逻艇112号在A处发现其正西方向有可疑船只C向我国领海靠近，便立刻通知正在PQ上B处巡逻的113号艇注意其动向，经观察发现，A艇与可疑船只C之间的距离为10海里，A，B两艇之间的距离为6海里，B艇与可疑船只C之间的距离为8海里，若该可疑船只航行的速度为12.8海里/时.问该可疑船只最早在何时进入我国领海?112号巡逻艇以怎样的速度向西行驶能在可疑船只进入我领海之前截住可疑船只?