韩信点兵和不定方程
三人同行七十稀,
王树梅花甘一枝,
七子团圆正半月,
除百零五便得知。
它的意思是说:将某数(正整数)除以3所得的余数乘以70,除以5所得的余数乘以21,除以7所得的余数乘以15,再将所得的三个积相加,并逐次减去105,减到差小于105为止。 所得结果就是某数的最小正整数值。
用这首歌诀来计算上面的“韩信点兵”问题,我们便得到以下的算式:
170+221+215=142,
142-105=37,
即这群士兵共有37名。
《孙子算经》上还有一道极其有名的“物不知数”问题:“今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余三,七七数之余二,问物几何。”用上面的歌诀来算,便得到算式:
270+321+215=233,
233-1052=23,
即所求物品最少是23件。
上面的“韩信点兵”问题,我们可以表示成方程或方程组。
设士兵共有m名。m除以3,5,7所得的商分别为x,y,z,那么由题意,有
这是一个“未知数的个数(这里有m,x,y,z共4个)多于方程的个数(这里有3个)”的方程组。它可以合并成一个方程(将3个方程相加)
3x+5y+7z+5=3m。
这个方程中含有2个或2个以上的未知数。我们把这样的方程叫做不定方程,把前面这样的方程组叫做不定方程组。这个不定方程组还可以写成
3x+1=5y+2=7z+2=m
的形式。上面所例举的方程或方程组都有无限多个正整数解(这是因为方程或方程组本身没有ml00的限制,所以取m=37,37+105,37+1052,…代入方程组,就可以得到相应的各组x,y,z的值,例如
等等,都是方程组的解)。也就是说,方程或方程组的解不都是唯一确定的,这便是“不定方程”和“不定方程组”中“不定”两字的由来。
我国著名的数学家华罗庚早在少年时代(上初中前)就求得了“物不知数”问题的答案。这类问题引起了他后来研究整数性质以至于“数论”的兴趣。外国数学界也很重视,并把“大衍求一术”称为“中国剩余定理”。
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