中学趣味数学:立方体
上面是同一立方体的三个视图。在这些视图中,立方体的每一个可视面上都有一个图形,一共有五种图形:
稍加分析便可知道,这五种图形中必定有一种会在立方体上出现两次。实际上,有三种图形,其中任何一种都有可能在立方体上出现两次。
但是,这个立方体的主人如实地说:在立方体上出现两次的那个图形不在这三个视图中立方体的底面上。这样,只有一种图形可以在立方体上出现两次。
在这五种图形中,在立方体上出现两次的是哪种图形?
(注:如果你觉得难以同时看到立方体的六个面,你可以用纸制作一个立方体,或者照下图画出立方体的多面图。在这种多面图中,除了底面外,其他各面都可以同时看到。)
(提示:任一种图形,或是出现一次或是出现两次。选定这样一种图形:当假设它只出现一次时,可立即推断出其他四个面上的图形;当假设它出现两次时,可通过另一种图形推断出所有面上的图形。)
答 案
先不考虑立方体主人的话,我们将看到,立方体各面的图形安排有三种可能。其中的两种将用主人的话加以排除。任何一种图形或是出现一次或是出现两次。我们选择一种图形进行推理。选择哪一种图形合适呢?由于与●出现在同一幅视图中的包括所有其他四种图形,○也是如此,因此,如果假定●或○只出现一次,则其他四个面上的图形可以立即推导出来。
我们选择●,如前所述,存在两种可能:●或是出现一次或是出现两次。
假设●只出现一次,则根据视图2,可得: 于是,根据
视图3,可得: 。最后,根据视图1,可得:
图1图2
假设●出现两次,则其他每个图形都只出现一次。于是,视图1中的○和视图2中○的是一回事。因此根据视图1,可得: 。
于是,根据●出现两次的假设,可得:
Ⅲ
。可验证视图3与这个假设相符。
在下表中,对上述三种可能,在每个视图项下记录了相应的底面图形,同时还记录了相应的出现两次的图形。
底面图形出现两次的图形
视图1视图2视图3
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