中学趣味数学:扣在桌上的纸牌
八张编了号的纸牌扣在桌上,它们的相对位置如下图所示:
关于这八张牌:
(1)其中至少有一张Q。
(2)每张Q都在两张K之间。
(3)至少有一张K在两张J之间。
(4)没有一张JQ相邻。
(5)其中只有一张A。
(6)没有一张K与A相邻。
(7)至少有一张K和另一张K相邻。
(8)这八张牌中只有K、Q、J和A这四张牌。
这八张牌中哪一张是A?
(提示:哪几张纸牌可能是Q?)
答 案
根据{(1)其中至少有一张Q。}和{(2)每张Q都在两张K之间。},在下列判断中有一条且只有一条是对的:
(a)3号牌和6号牌是Q;
(b)只有3号牌是Q;
(c)只有6号牌是Q;
(d)只有4号牌是Q。
如果3号牌和6号牌都是Q,则有下列两种可能(X代表未知的牌):
但这两种可能都不符合{(3)至少有一张K在两张J之间。},因此判断(a)是不对的。
如果只有3号牌是Q,则6号牌就不可能是K,这是因为根据(3),一定有一张K在两张J之间,而{(4)没有一张JQ相邻。}在这里又不允许这种情况发生。根据前面的推理,6号牌不能是Q。根据(3)和{(6)没有一张K与A相邻。},6号牌又不能是A。因此6号牌只能是J。但这样(3)和{(7)至少有一张K和另一张K相邻。}不能同时得到满足。因此判断(b)也是不对的。
如果只有6号牌是Q.则有下列两种可能:
在第一种可能中,(3)和(4)不能同时得到满足;在第二种可
能中,(3)得不到满足。因此,判断(c)也是不对的。
于是,只有判断(d)是正确的:只有4号牌是Q。
接下来根据(2),l号牌和6号牌是K。根据(3),5号牌和7号牌是J。
因此必定是下面这种情况:
如果为了满足(7),设2号牌和3号牌都是K,则根据(5),8号牌就是A。但(6)不允许这种情况发生。因此8号牌是(7)所要求的与一张K相邻的K。
如果2号牌是一张A,则3号牌不能是Q(根据(2))不能是K(根据(6)),不能是J(根据(4))也不能是A(根据{(5)其中只有一张A。})。因此根据{(8)这八张牌中只有K、Q、J和A这四张牌。},2号牌不能是A。根据(5),3号牌一定是那张唯一的A。
根据(2)、(5)和(6),2号牌一定是J。
所有的纸牌情况如下:
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