巧构图妙解题_名师指点 - 查字典数学网

巧构图妙解题

对于有些代数题采用常规处理往往颇费周折，而利用“图形”则会取得事半功倍的效果。请看：

例1. 已知a，b，c，d都是正数，并且。

求证：

证明：作和，使斜边，，（如图1）。

图1

由得：

又

所以

又

所以

即

例2. A、B两地相距64千米，甲骑车比乙骑车每小时少行4千米。如果甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，甲比乙先行40分钟，两人相遇时所行的路程正好相等。求甲、乙两人骑车的速度各是多少？

解：如图2所示，AB表示A、B两地相距64千米，AC⊥AB

图2

设AC＝x，表示甲的行驶速度，作BD⊥AB

设BD＝x＋4，表示乙的行驶速度，在AB上，取，表示甲在40分钟所行的路程，⊥AB，且＝x，连结与AB交于E，表示甲、乙各在A、B处同时相向而行并相遇于E点，于是

由，得

解得：（舍去）

于是

即甲、乙两人骑车的速度分别为12千米/小时和16千米/小时。

例3. 甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁。”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁。”请你算一算甲、乙现在的各自岁数。

图3

解：如图3，画两条直线分别表示甲、乙的年龄，设乙现在的年龄为x岁，从图形中可以很直观地看到。当甲为x岁时，乙为4岁；当乙为x岁时，甲为岁；当乙为岁时，甲为61岁。

根据甲、乙的年龄差不变，可得

解得：

所以

答：甲现在42岁，乙现在23岁。

例4. 设a，b，c都是正实数，求证：

证明：时，显然成立。由于a，b的地位相同，不妨假设，这时要证的不等式转化为。

图4

作△ABC（如图4），CA＝CB，CD为底边AB上的高，E为CD上的一点，使得，由勾股定理得：

又

在△CBE中，

即

综上，命题得证。

例5. 设a，b，c，d均为正数，满足，且a为最大。求证：。

证明：不妨取线段，在AC上取一点B，使，则，以BC为直径作⊙O，如图5。

图5

设，作割线（或切线）交⊙O于E，作OF⊥AD，F为垂足初中学习方法。

因为

即

因为，所以

又

在中，AO＞AF

所以即有

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