证明直线与圆相切的两种方法_名师指点

证明直线与圆相切的两种方法

证明直线与圆相切主要有以下两种：
一、根据切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线证明直线与圆相切的两种方法。
当已知直线与圆有公共点时，常用此法。辅助线是连结公共点和圆心，只要设法证明直线与半径垂直即可。
例1. （2004年江苏省淮安市题）
已知：如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交△ABC的外接圆⊙O于点D，交BC于点G。

图1
（1）连结CD，若AG＝4，DG＝2，求CD的长；（解略）
（2）过点D作EF∥BC，分别交AB、AC的延长线于点E、F。求证：EF与⊙O相切。
证明：（2）连结OD，由∠1＝∠2，
得，则OD⊥BC
所以
因为EF∥BC，所以∠BCD＝∠CDF
从而
即EF⊥OD，所以EF与⊙O相切。
例2. （2002年湖北省黄冈市中考题）
如图2，BE是⊙O的直径，点A在BE的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连结OD，且∠AOD＝∠APC。
（1）求证：AP是⊙O的切线。
（2）略。

图2
证明：连结OP，因为PD⊥BE，OP＝OD
所以∠POB＝∠DOB，而∠APD＝∠DOB
所以∠POB＝∠APD
由PD⊥BE得：∠POB＋∠OPC＝90°
即∠APD＋∠OPC＝90°
所以AP是⊙O的切线
二、根据直线与圆的位置关系
若圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切。
当题设中不能肯定直线与圆有公共点时，常用此法。辅助线是过圆心作该直线的垂线段，只要设法证明垂线段等于半径即可。
例3. （2003年甘肃省中考题）
如图3，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心、r为半径作圆，当r＝2.4时，AB与圆有怎样的位置关系？为什么？

图3
解：作CD⊥AB，垂足为D，则

由CD·AB＝AC·BC得：
即AB与圆相切。
例4. 如图4，AB是⊙O的直径，AC⊥l，BD⊥l，C、D为垂足，且AC＋BD＝AB，求证：直线l与⊙O相切。

图4
证明：过O作OE⊥l，E为垂足，则
OE∥AC∥BD，又AO＝BO
所以
而，则
即垂线段OE等于圆的半径证明直线与圆相切的两种方法，所以直线l是⊙O的切线。