2015高考数学易错知识点：立体几何_考前复习

2015高考数学易错知识点：立体几何

立体几何由三部分组成，一是空间几何体，二是空间点、直线、平面的位置关系，三是立体几何中的向量方法.高考在命制立体几何试题中，查字典数学网整理了2015高考数学易错知识点：立体几何，供参考。

对这三个部分的要求和考查方式是不同的.在空间几何体部分，主要是以空间几何体的三视图为主展开，考查空间几何体三视图的识别判断、考查通过三视图给出的空间几何体的表面积和体积的计算等问题，试题的题型主要是选择题或者填空题，在难度上也进行了一定的控制，尽管各地有所不同，但基本上都是中等难度或者较易的试题;在空间点、直线、平面的位置关系部分，主要以解答题的方法进行考查，考查的重点是空间线面平行关系和垂直关系的证明，而且一般是这个解答题的第一问;对立体几何中的向量方法部分，主要以解答题的方式进行考查，而且偏重在第二问或者第三问中使用这个方法，考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计算，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题.

线面关系中三类平行的共同点是无公共点三类垂直的共同点是成角90.线面平行、面面平行，最终化归为线线平行;线面垂直、面面垂直，最终化归为线线垂直.

直线与平面所成角的范围是;两异面直线所成角的范围是.一般情况下，求二面角往往是指定的二面角，若是求两平面所成二面角只要求出它们的锐角(直角)情况即可.

立体几何中的计算主要是角、距离、体积、面积的计算.两异面直线所成角、直线与平面所成角的计算是重点.求两异面直线所成角可以利用平移的方法将角转化到三角形中去求解，也可以利用空间向量的方法，特别要注意的是两异面直线所成角的范围.当求出的余弦值为时，其所成角的大小应为.

特别需要注意的是：两向量所成的角是两向量方向所成的角，它与两向量所在的异面直线所成角的概念是不一样的.本题中的向量与所成的角大小是两异面直线DE与BD1所成角的补角.

正方体中线面关系可以说是高考中的重点内容，相当一部分的高考题是以正方体作为载体进行命题，或是截取正方体的一部分进行命题.请特别关注正方体表面按不同形式的展开图，会由展开的平面图形想象立体图形.

三棱锥顶点在底面三角形内射影为三角形的外心、内心、垂心的条件要分清楚.外心：三侧棱相等或三侧棱与底面所成的角相等(充要条件);内心：三侧面与底面所成的二面角相等(充要条件);垂心：相对的棱垂直(充要条件)或三侧棱两两垂直(充分条件).

.关注正棱锥中的几个直角三角形：(1)高、斜高、底面边心距组成的直角三角形;(2)侧棱、斜高、底面棱长的一半组成的直角三角形;(3)底面上的边心距、底面外接圆半径、底面棱长的一半组成的直角三角形.(4)高、侧棱、底面外接圆半径组成的直角三角形.进一步关注的是：侧棱与底面所成角、侧面与底面所成二面角的平面角都体现在这些直角三角形中.

特别注意有一侧棱与底面垂直且底面为正方形、直角梯形、菱形等四棱锥，关注四个面都是直角三角形的三棱锥.它们之间的线面关系也是高考命题的热点内容.

对平面图形的翻折问题要有所了解：翻折后，在同一半平面内的两点、点线及两线的位置关系是不变的，若两点分别在两个半平面中，两点之间的距离一般会发生变化.要认清从平面图形到空间图形之间的联系，能够从平面图形的关系过渡到空间图形的关系，根据问题画出空间图形.

三、易错点点睛

2.(1)正方体ABCDA1 B1 C1 D1中，p、q、r、分别是AB、AD、B1 C1的中点。那么正方体的过P、Q、R的截面图形是()

(A)三角形 (B)四边形 (C)五边形 (D)六边形 (答案：D)

(2)在正三棱柱-中，P、Q、R分别是、、的中点，作出过三点P、Q、R截正三棱柱的截面并说出该截面的形状。答案：五边形。

【知识点分类点拔】解决异面直线所成角的问题关键是定义，基本思想是平移，同时对本题来说是解决与两异面直线所成的等角的直线条数，将两异面直线平移到空间一点时，一方面考虑在平面内和两相交直线成等角的直线即角平分线是否满足题意，另一方面要思考在空间中与一平面内两相交直线成等角的直线的条数，此时关键是搞清平面外的直线与平面内的直线所成的角与平面内的直线与平面外的直线在平面内的射影所成的角的关系，由公式(其中是直线与平面所成的角)易知，(最小角定理)故一般地，若异面直线a、b所成的角为，L与a、b所成的角均为，据上式有如下结论：当时，这样的直线不存在;当时，这样的直线只有一条;当时，这样的直线有两条;当时这样的直线有3条;当时，这样的直线有四条

2.如果异面直线a、b所在的角为,P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都是的直线有几条?

A、一条 B二条 C三条 D四条 (答案：C)

【易错点4】求异面直线所成的角，若所成角为，容易忽视用证明垂直的方法来求夹角大小这一重要方法1、在三棱柱中，若，则所成角的大小为( )A、 B、 C、 D、

【易错点分析】忽视垂直的特殊求法导致方法使用不当而浪费很多时间。

解析：如图分别为中点，连结，设

则AD为在平面上的射影。又而垂直。【知识点归类点拨】求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，对特殊的角，如时，可以采用证明垂直的方法来求之

【易错点5】对于经度和纬度两个概念，经度是二面角，纬度为线面角，二者容易混淆

1、如图，在北纬的纬线圈上有B两点，它们分别在东经与东经

的经度上，设地球的半径为R，求B两点的球面距离。

解析：设北纬圈的圆心为，地球中心为O，则

连结，则。故A、B两点间的球面距离为。

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