高考数学知识难点突破：三角函数图象与性质_知识点总结

高考数学知识难点突破：三角函数图象与性质

一、周期函数

1、周期函数的定义：

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数.T叫做这个函数的周期.

2、最小正周期：

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

典型例题1：

1、求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.

2、求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法：

(1)、利用sin x、cos x的值域;

(2)、形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2));

(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题(如例1(2)).

二、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

典型例题2：

1、求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式，再根据三角函数的单调区间，求出x所在的区间.应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内.

2、周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域内的每一个x值都满足f(x+T)=f(x)，其中T是不为零的常数.如果只有个别的x值满足f(x+T)=f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(x+T)=f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期.

典型例题3：

1、三角函数的奇偶性的判断技巧

首先要对函数的解析式进行恒等变换，再根据定义、诱导公式去判断所求三角函数的奇偶性;也可以根据图象做判断.

2、求三角函数周期的方法

(1)、利用周期函数的定义;

(2)、利用公式：y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为|ω|(2π)，y=tan(ωx+φ)的最小正周期为|ω|(π);

(3)、利用图象.

三、求三角函数的单调区间时应注意以下几点：

典型例题4：

正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形.正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用.

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