整除<练习题>_题型归纳 - 查字典数学网

整除<练习题>

1．在□内填上适当的数字，使六位数358□2□能被60整除． 2．一些四位数，百位数字是3，十位数字是6，并且它们都能被6整除，a是这样的四位数中最大的，b是最小的，则a、b两个数的千位数字和个位数字（共四个）的总和是多少？

4．求能被11整除，首位数字是3，且各位数字均不相同的最大和最小的六位数．

5．用1～9这九个数字每个数字各一次，组成三个能被9整除的三位数，要求这三个数的和尽可能大，求这三个数．

6．任意一个三位数连续写两次得到的六位数一定能同时被7，11，13整除．

7．将自然数1，2，3，……依次写下来组成一个多位数：1234567891011121314，………．如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，那么这个自然数是多少？

仅供参考：

1．因为60=3×4×5，3，4，5互质，只须考虑358□2□能同时被3，4，5整除．358□2□能被5整除，所以个位只能是0或5，又因为358□2□能被44除，358□25不能被4整除，所以个位只能是0，又因为358□20能被3整除，3＋5＋8+□+2＋0=18+□能被3整除，所以百位数字是0或3或6或9，满足题意的六位数为358020，358320，358620，358920．

（1）当b=0时，a＋3+6＋0=9+a能被3整除，所以a=3，6，9．所求数为3360，6360，9360．

（2）当b=2时，a＋3＋6＋2=11+a能被3整除，所以a=1，4，7．所求数为1362，4362，7362．

（3）当b=4时，a＋3＋6＋4=13＋a能被3整除，所以a=2，5，8，所求数为2364，5364，8364．

（4）当b=6时，a＋3＋6＋6=15＋a能被3整除，所以a=3，6，9，所求数为3366，6366，9366．

（5）当b=8时，a＋3＋6＋8=17+a能被3整除，所以a=1，4，7，所求数为1368，4368，7368．

所以a=9366，b=1362，a、b两数的千位数字和个位数字的总和9＋6＋1＋2=18．

所以a＋5＋8＋2＋0=15＋a是9的倍数，a只能是3，35820即为所求．

4．因为首位是3的最大的六位数是398765，最小的六位数是301245．398765的奇数位的数字之和为21，偶数位的数字之和为17，显然21-17=4不能被11整除，只有个位数字减少4，即为1时，奇数位的数字之和为17，17-17=0能被11整除，所以满足条件的最大六位数为398761．类似可以得出满足条件的最小六位数为301246．

5．因为1＋2＋3＋…＋9=45，要使这三个数都能被9整除，且它们的和尽可能大，这三个三位数的各个数位的数字之和只能分别为9，18，18，它们的和是45．先求各个数位数字之和是9的最大的三位数为621，还剩3，4，5，7，8，9这六个数字，分别组成两个最大的三位数，且能被9整除，各数位的数字之和是18，可以得出这两个三位数分别为954，873．所以所求数为954，873，621．

到的六位数一定能同时被7，11，13整除．

7．因为72=8×9，一个数若能被72整除，则一定能同时被8、9整除．被8整除的数，必能被4整除被4整除的数，末两位数只能是12，56，12，16，20，24，28，32，36，……．12的各数字之和为3，不能被9整除；123456的各数字之和为21，也不能被9整除；123456…1112的各数字之和是51，同样不能被9整除；当写到16，24，32时，末三位数分别是516，324，132，这三个数都不能被8整除；只有当写到36时，末三位数536能被8整除，各数字之和为（1＋2＋3＋…＋9）×3＋1×10＋2×10＋3×7＋（1＋2＋3＋4＋5＋6）=207，207能被9整除，所以写到36时，所得多位数恰好第一次被72整除．

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