理发师悖论_知识点总结 - 查字典数学网

理发师悖论

M：著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。一个理发师的招牌上写着：

告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也只给这些人刮脸。

M：谁给这位理发师刮脸呢？

M：如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来刮。

M：如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸的人。但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他任何人也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发师刮脸了！

伯特纳德·罗素提出这个悖论，为的是把他发现的关于集合的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。某些集合看起来是它自己的元素。例如，所有不是苹果的东西的集合、它本身就不是苹果，所以它必然是此集合自身的元素。现在来考虑一个由一切不是它本身的元案的集合组成的集合。这个集合是它本身的元素吗？无论你作何回答，你都自相矛盾[*]。

在逻辑学历史上最富戏剧性的危机之一就与这条逆论有关。德国的著名逻辑学家哥特洛伯·弗里兹写完了他最重要的著作《算法基础》第二卷，他认为他在这本书中确立了一套严密的集合论，它可作为整个数学的基础。1902年，当该书付印时，他收到了罗索的信，他得知上面那条悖论。弗里兹的集合论容许由一切不是它自身的元素的集合构成的集合。正如罗素在信中澄清的，这个表面上结构完美的集合却是自相矛盾的。弗里兹在收到罗素的信后，只来得及插入一个简短的附言：

“一个科学家所遇到的最不合心意的事，莫过于是在他的工作即将结束时使其基础崩溃了，我把罗素的来信发表如下……”

据说，弗里兹使用的词“不合心意”（undesirable）是数学史上最词不达意的说法了。

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[*] 设对于一类集合，A1={a11, a12, … a1i …}，A2={a21, a22, … a2i …}，……，Ai={ai1, ai2, … aij …}都满足条件aijAi (i=1, 2, … j=1, 2, …)但AiAi一切这类集合物成新集合A={A1, A2, … Ai, …) AiA，问AA？如果认为AA，则A应该不是自身集合的元素，即AA，如果AA，A就应是本集合的元素，即AA，岂非矛盾——译注

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