最早的不定方程_趣味数学

最早的不定方程

《九章算术》是我国一部很古老的数学书，它系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，它的写成，一般认为是在公元初年。

该书方程章第十三题是有名的“五家共井”问题，它的内容是：五户人家合用一口井，若用甲家的绳2条，乙家的绳1条接长，从井口放下去，正好抵达水面；或用乙家的绳3条，丙家的绳1条；或用丙家的绳4条，丁家的绳1条；或用丁家的绳5条，戊家的绳1条；或用戊家的绳6条，甲家的绳1条接长，也都一样正好抵达水面，问井的深度及各家的绳长各为多少？

由于原题包含有两个以上的未知量，它没有给出答案的范围和别的特定条件，因此列出方程后有无穷多组解，这样的方程就称为“不定方程”。

如果该题的长度单位是寸①，那么它的最小正整数解如下：井深721寸，甲家的绳长为265寸，乙家的绳长为191寸，丙家的绳长为148寸，丁家的绳长为129寸，成家的绳长为76寸。

西方最早研究不定方程的人是受到希腊文明影响的亚历山大里亚城的丢番都，时间约在公元4世纪。他比《九章算术》的成书年代要迟三百多年。因此可以说，“五家共井”问题是世界最早的不定方程。

到了13世纪，我国宋朝的数学家秦九韶在他所著的《数书九章》（公元1247年）中提出了“大衍求一术”，实际上这就是解一次不定方程的通法，而欧洲到了18世纪，才由瑞士数学家欧拉创立了一次不定方程的一般解法。

秦九韶的大衍求一术，不但远比欧洲发明得早，有其历史上的崇高地位。而且在方法上也比欧洲人的办法来得简洁、具体，易于作数值计算，直到现在，与数论里的“一次同余式”的办法相比较，仍有其优越性。所以这个算法一直被欧美学者推崇，称为“中国剩余定理”。注①：1尺=10寸，1米=3尺。

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