中学趣味数学:6174猜想_题型归纳

1955年,卡普耶卡(D.R.Kaprekar)研究了对四位数的一种变换:任给出四位数k0,用它的四个数字由大到小重新排列成一个四位数m,再减去它的反序数rev(m),得出数k1=m-rev(m),然后,继续对k1重复上述变换,得数k2.如此进行下去,卡普耶卡发现,无论k0是多大的四位数,

只要四个数字不全相同,最多进行7次上述变换,就会出现四位数6174.例如:

k0=5298,k1=9852-2589=7263,k2=7632-2367=5265,k3=6552-2556=3996,

k4=9963-3699=6264,k5=6642-2466=4176,k6=7641-1467=6174.

后来,这个问题就流传下来,人们称这个问题为6174问题,上述变换称为卡普耶卡变换,简称 K 变换.

一般地,只要在0,1,2,...,9中任取四个不全相等的数字组成一个整数k0(不一定是四位数),然后从k0开始不断地作K变换,得出数k1,k2,k3,...,则必有某个m(m=7),使得km=6174.

更一般地,从0,1,2,...,9中任取n个不全相同的数字组成一个十进制数k0(不一定是n位数),然后,从k0开始不断地做K变换,得出k1,k2,...,那么结果会是怎样的呢?现在已经知道的是:

n=2,只能形成一个循环:(27,45,09,81,63).例如取两个数字7与3,连续不断地做K变换,得出:36,27,45,09,81,27,...出现循环.

n=3,只能形成一个循环:(495).

n=4,只能形成一个循环:(6174).

n=5,已经发现三个循环:(53855,59994),(62964,71973,83952,74943),(63954,61974,82962,75933).

n=6,已经发现三个循环:(642654,...),(631764,...),(549945,...).

n=7,已经发现一个循环:(8719722,...).

n=8,已经发现四个循环:(63317664),(97508421),(83208762,...),(86308632,...)

n=9,已经发现三个循环:(864197532),(975296421,...),(965296431,...)

容易证明,对于任何自然数n=2,连续做K变换必定要形成循环.这是因为由n个数字组成的数只有有限个的缘故.但是对于n=5,循环的个数以及循环的长度(指每个循环中所包含数的个数)尚不清楚,这也是国内一些数学爱好者热衷于研究的一个课题.

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