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二次根式是初中数学中的基础知识，也是初中数学学习中的重点内容;而比较二次根式的大小又是二次根式知识中的难点，也是中考和数学竞赛中常见的题型，经常会考到不查表、不求二次根式的值，来比较几个不含分母的二次根式的大小的问题。尽管教材上介绍了比较二次根式大小的几种基本方法，如求近似值法、比较被开方数法等，尽管很多教辅材料中也总结了不少诸如“作差”、“做商”、“有理化”、“取倒数”、“平方”等方法，但许多学生在考试中仍显得力不从心，并不清楚到底什么时候用哪种方法最合适?解答这类题目时缺少方法与对策，以至于无从下手。下面就举例介绍几种比较二次根式大小的有效方法。

一、移动因式法

此法好学，适用。就是将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小。

例1：比较的大小。

解：>

∴>

二、运用平方法

两边同时平方,转化为比较幂的大小。此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大;两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小。

例2：比较与的大小。

解：∵，

>0，>0

∴<

三、分母有理化法

此法是先将各自的分母有理化，再进行比较。

例3：比较与的大小。

解：

∴>

四、分子有理化法

此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。

例4：比较与的大小

解：∵

>

∴>

 

五、求差或求商法

求差法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的差，再根据“当<0时，<;当时，;当>0时，>”来比较与的大小。

求商法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的商，再根据“①同号：当>1时，>;=1时，;<1时，<。

②异号：正数大于负数” 来比较与的大小。

例5：比较的大小。

解：∵<

∴<

例6：比较的大小。

解：∵>1

∴>

六、求倒数法

先求两数的倒数，而后再进行比较。

例7：比较的大小。

解：∵

>

∴<

七、运用媒介法

此法是借助中间量(定量或变量)巧妙转换达到直观比较的方法，类似于解方程中的换元法。

例8：已知，，试比较

的大小。

解：设，则，

∵<，

∴<，即<

八、设特定值法

如果要比较的二次根式中含有字母，为了快速比较，解答时可在许可的条件下设定特殊值来进行比较。

例9：比较与的大小。

解：设，则：=1，=

∵<1，∴>

九、局部缩放法

如果要比较的二次根式一眼看不出有什么特点，又不准求近似值，可采取局部缩放法，以确定它们的取值范围，从而达到比较大小的目的。

例10：比较的大小。

解：设，

∵，7<<8，即7<<8

，8<<9，即8<<9

∴<，即<

例11：比较与的大小。

解：∵>

∴>

十、“结论”推理法

通过二次根式的不断学习，不难得出这样的结论：“>

(>>0)”，利用此结论也可以比较一些二次根式的大小(结论证明见文末)。

例12：比较1与的大小。

解：∵，由>

(>>0)可知：>

即>

又∵>

∴>，即1>

总的来说，比较二次根式大小的方法不仅仅局限于以上十种，除此之外诸如移项、拆项法，类比推理法，数形结合法，数轴法，还有假设推理法等等，但不管使用哪种方法，都必须在掌握二次根式的基本性质和运算法则上进行，要根据问题的特征，二次根式的结构特点，多角度地探索思考，做到具体问题具体分析，针对不同问题采取不同的策略，另外还应多做这方面的训练，方能达到熟练而又快捷，运用自如的程度。

附：“>(>>0)”的证明。

证明：∵，，

>

∴>(>>0)

【典题新练】：

1、比较与的大小;

2、比较与的大小;

3、比较与的大小;

4、比较与的大小;

5、比较与的大小;

6、比较与的大小(其中为正整数)

7、设，，试比较它们的大小;

8、比较与的大小;

9、比较与的大小;

10、 比较与的大小;

11、比较与的大小;

12、比较的大小;

13、比较与的大小;

14、 比较与的大小;

15、若为正整数，试比较的大小;

16、比较的大小;

17、比较与的大小。

【典题新练参考答案】：

1、提示：，，

∴<

2、提示：平方后再进行比较。

，，

∴>

3、提示：可利用>(>>0)。

>，即>

4、提示：分母有理化后再进行比较。

，，<，

∴<

5、提示：分子有理化后再进行比较。

∵>，

∴<，

即<

6、提示：∵，

其中为正整数， ∴>

故<

7、提示：设，则：，

∵　<

　∴<，

∴<

8、平方后再进行比较。

，，

又∵>，

∴>

∴<，

∴<

9、提示：∵2<<3，7<<8，

∴<5<

∴<

10、提示：分子有理化后再进行比较。

因为，，

而>

所以<，故<

11、提示：分别求其倒数后，再进行比较。

∵，

>

，∴<

12、提示：∵，而7<<8，∴的整数部分为7 。同样可得的整数部分为8，∴<

13、提示：∵>

∴>

14、提示：平方后再比较大小。

∵，，

∴<

15、提示：由偶次根式的定义得，∴<2009，∴<0，

∴>0，<0，∴>

16、提示：由，设>，则>4，两边平方得：>16，∴>4，这与<=4相矛盾，

∴假设不成立，故<。

17、提示：可在方格纸或坐标纸上作折线图。，示例如下图：，，;。由图可知：>，即>

 

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