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一、配方降次法

经过配方变形，使之能开平方或分解因式，达到降次目的。

例1 解方程：根据结构特征 巧解方程（组）1

解：左边以根据结构特征 巧解方程（组）2作中间项进行配方，得根据结构特征 巧解方程（组）3

即根据结构特征 巧解方程（组）4

根据结构特征 巧解方程（组）5

例2 解方程：根据结构特征 巧解方程（组）6

解：将左边配方得：

根据结构特征 巧解方程（组）7

由非负数的性质得：根据结构特征 巧解方程（组）8

根据结构特征 巧解方程（组）9

二、配项运算法

例3 解方程组：根据结构特征 巧解方程（组）10

解：由(2)配项得：根据结构特征 巧解方程（组）11

根据结构特征 巧解方程（组）12得：根据结构特征 巧解方程（组）13

根据结构特征 巧解方程（组）14得：根据结构特征 巧解方程（组）15，根据结构特征 巧解方程（组）16

根据结构特征 巧解方程（组）17得：根据结构特征 巧解方程（组）18，根据结构特征 巧解方程（组）19

经检验：根据结构特征 巧解方程（组）20是原方程组的解

三、换元法

例4 解方程：根据结构特征 巧解方程（组）21

解：设根据结构特征 巧解方程（组）22，原方程可化为：

根据结构特征 巧解方程（组）23

去分母整理，得：根据结构特征 巧解方程（组）24

解得：根据结构特征 巧解方程（组）25

于是根据结构特征 巧解方程（组）26或根据结构特征 巧解方程（组）27

解得：根据结构特征 巧解方程（组）28，根据结构特征 巧解方程（组）29，根据结构特征 巧解方程（组）30，根据结构特征 巧解方程（组）31

例5 解方程组：

根据结构特征 巧解方程（组）32

解：由(1)得：根据结构特征 巧解方程（组）33　根据结构特征 巧解方程（组）34

代入(2)得：根据结构特征 巧解方程（组）35根据结构特征 巧解方程（组）36，

设根据结构特征 巧解方程（组）37，则根据结构特征 巧解方程（组）38

解得根据结构特征 巧解方程（组）39，根据结构特征 巧解方程（组）40

经检验，原方程组有解：

根据结构特征 巧解方程（组）41根据结构特征 巧解方程（组）42

四、增元法

例6 解方程：根据结构特征 巧解方程（组）43

解：设根据结构特征 巧解方程（组）44

由原方程可化为：根据结构特征 巧解方程（组）45

由此可得方程组：根据结构特征 巧解方程（组）46

根据结构特征 巧解方程（组）47得：根据结构特征 巧解方程（组）48

根据结构特征 巧解方程（组）49或根据结构特征 巧解方程（组）50，于是原方程可化为两个方程组：

根据结构特征 巧解方程（组）51或根据结构特征 巧解方程（组）52

解以上两个方程组得原方程的解为：

根据结构特征 巧解方程（组）28，根据结构特征 巧解方程（组）53，根据结构特征 巧解方程（组）54，根据结构特征 巧解方程（组）55

五、引入参数法

例7 解方程组：

根据结构特征 巧解方程（组）56

解：设根据结构特征 巧解方程（组）57

则有根据结构特征 巧解方程（组）58

即根据结构特征 巧解方程（组）59

两边平方并整理得：根据结构特征 巧解方程（组）60

根据结构特征 巧解方程（组）61，根据结构特征 巧解方程（组）62

当根据结构特征 巧解方程（组）63时，有根据结构特征 巧解方程（组）64

当根据结构特征 巧解方程（组）62时，有根据结构特征 巧解方程（组）65（不合题意，舍去）

经检验，方程组的解为根据结构特征 巧解方程（组）64

六、韦达定理法（构造新方程法）

通过变形，创造出符合韦达定理条件的二次方程来解。

例8 解方程组：根据结构特征 巧解方程（组）66

解：根据结构特征 巧解方程（组）67得：根据结构特征 巧解方程（组）68，根据结构特征 巧解方程（组）69

代入(1)得xy=6，由韦达定理的逆定理知：

x、y是方程根据结构特征 巧解方程（组）70的两根。

根据结构特征 巧解方程（组）71根据结构特征 巧解方程（组）72

注：此法的关键是如何根据方程组特征变得根据结构特征 巧解方程（组）73与xy都是常数。

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