高淳区2015初三数学下学期期中测试卷(含答案解析)
高淳区2015初三数学下学期期中测试卷(含答案解析)
一、选择题(本大题共6小题,每小题2分,共12分.在每小题所给出的四个选项中,
恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1.在下列实数中,无理数是( ▲ )
A.sin45° B.13 C. .0.3 D. 3.14
2.计算(2a 2) 3的结果是 ( ▲ )
A.2a 5 B.2a6 C.8a 5 D.8a 6
3.在某校初三年级古诗词比赛中,初三(1)班42名学生的成绩统计如下:
分数 50 60 70 80 90 100
人数 1 2 8 13 14 4
则该班学生成绩的中位数和众数分别是( ▲ )
A.70,80 B.70,90 C.80,90 D.80,100
4.如图,一个由5个大小相同、棱长为1的正方体搭成的几何体,
下列关于这个几何体的说法正确的是( ▲ )
A.主视图的面积为5 .B.左视图的面积为3
C.俯视图的面积为5 D.俯视图的面积为3
5.如图,四边形AB CD内接于⊙O,∠A =100°,则劣弧⌒BD的度数是( ▲ )
A.80° B.100° C.130° D.160°
6.如图,在平面直角坐标系xoy中,函数y=x的图象为直线l,作点A1(1,0)关于直线
l的对称点A2,将A2向右平移2个单位得到点A3;再作A3关于直线l的对称点A4,将
A4向右平移2个单位得到点A5;….则按此规律,所作出的点A2015的坐标为( ▲ )
A.(1007,1008) B.(1008,1007) C.(1006,1007) D.(1007,1006)
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分.不需写出解答过程,请把答案直
接填写在答题纸相应位置上)
7.-3的倒数是 ▲ , -3的绝对值是 ▲ .
8.使式子1+x+2 有意义的x的取值范围是 ▲ .
9.分解因式:4a2-16= ▲ .
10.计算(6-2)×2= ▲ .
11.改写命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形” :如果 ▲ ,
那么 ▲ .
12.如图,在直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(0,3)、(4,3)、(0,-1),则△ABC外接圆的圆心坐标为 ▲ .
13.如图,半径为1的⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N,则劣弧 ⌒MN的长度为 ▲ .
14.正比例函数y1=k1x的图像与反比例函数y2=k2x的图象相交于点A(-1,2)和点B .
当y1<y2时,自变量x的取值范围是 ▲ .
15.某剧院举办文艺演出.经调研,如果票价定为每张30 元,那么1200 张门票可以全部售出;如果票价每增加1 元,那么售出的门票就减少20 张.要使门票收入达到38500 元,票价应定为多少元?若设票价为x 元,则可列方程为 ▲ .
16.如图,等边△ABC中,BC=6,D、E分别在BC、AC上,且
DE∥AC,MN是△BDE的中位线.将线段DE从BD=2处
开始向AC平移,当点D与点C重合时停止运动,则在运动
过程中线段MN所扫过的区域面积为 ▲ .
三、解答题 (本大题共11小题,共88分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤)
17.(8分)(1)计算 (-2)2+(3-π)0+|1—3|; (2)解方程组
18.(5分)化简: .
19.(7分)某校举行全体学生“汉字听写”比赛,每位学生听写汉字39个.随机抽取了
部分学生的听写结果,绘制成如下的图表.
根据以上信息完成下列问题:
(1)统计表中的m= ▲ ,n= ▲ ,并补全条形统计图;
(2)扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是 ▲ ;
(3)已知该校共有900名学生,如果听写正确的字的个数少于24个定为不合格,
请你估计该校本次听写比赛不合格的学生人数.
20.(7分)一个不透明的袋中,装有编号为①、②、③、④的四个球,他们除了编号外其余
都相同.
(1)从袋中任意摸出一个球,摸到编号为奇数的球的概率为 ▲ ;
(2)从袋中任意摸出两个球,求摸到的球编号都为奇数的概率.
21.(8分)如图,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线交AD、BC于点E、F,AC与EF交于点O,连结AF、CE.
(1)求证:四边形AFCE是菱形;
(2)若AB=3,AD=4,求菱形AFCE的边长.
22.(7分)如图,在一笔直的海岸线上有A、B两个观测点,B在A的正东方向,AB=4km.
从A测得灯塔C在北偏东60°的方向,从B测得灯塔C在北偏西27°的方向,求灯
塔C与观测点A的距离(精确到0.1km).
(参考数据:sin27°≈0.45,cos27°≈0.90,tan27°≈0.50,3≈1.73)
23.(7分)从南京到某市可乘坐普通列车,行驶路程是520千米;也可乘坐高铁,行驶路
程是400千米.已知高铁的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍,且从南京到该市
乘坐高铁比乘坐普通列车要少用3小时.求高铁行驶的平均速度.
24.(8分)如图,AD是⊙O的直径,AB为⊙O 的弦,OP⊥AD,OP与AB的延长线交于点P.点C在OP上,且BC=PC.
(1)求证:直线BC是⊙O的切线;
(2)若OA=3,AB=2,求BP的长.
25.(8分)已知二次函数y=x2-ax-2a2(a为常数,且a≠0).
(1)证明该二次函数的图像与x轴的正半轴、负半轴各有一个交点;
(2)若该二次函数的图像与y轴的交点坐标为(0,-2),试求该函数图像的顶点
坐标.
26.(10分)如图①,梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BA=BC.动点E、F同时从
点B出发,点E沿折线 BA–AD–DC运动到点C时停止运动,点F沿BC运动到点
C时停止运动,它们运动时的速度都是1 cm/s.设E出发t s时,△EBF的面积为y cm2.已
知y与t的函数图象如图②所示,其中曲线OM为抛物线的一部分,MN、NP为线段.
请根据图中的信息,解答下列问题:
(1)AD= ▲ cm,BC= ▲ cm;
(2)求a的值,并用文字说明点N所表示的实际意义;
(3)直接写出当自变量t为何值时,函数y的值等于5.
27.(13分)如图1,对于平面上小于等于 的 ,我们给出如下定义:若点P在
的内部或边上,作 于点E, 于点 ,则将 称为点
P与 的“点角距”,记作d(∠MON,P).如图2,在平面直角坐标系xoy中,
x、y正半轴所组成的角为∠xOy.
(1)已知点A(5,0)、点B(3,2),则d(∠xOy,A) = ▲ ,d(∠xOy,B) = ▲ .
(2)若点P为∠xOy内部或边上的动点,且满足d(∠xOy,P)=5,画出点P运动所
形成的图形.
(3)如图3与图4,在平面直角坐标系xoy中,射线OT的函数关系式为y=43x(x≥0).
①在图3中,点C的坐标为(4,1),试求d(∠xOT,C)的值;
②在图4中,抛物线y=-12x 2+2x+52 经过A(5,0)与点D(3,4)两点,点Q是A,D两点之间的抛物线上的动点(点Q可与A,D两点重合),求当d(∠xOT,Q)取最大值时点Q 的坐标.
高淳区2015初三数学下学期期中测试卷(含答案解析)参考答案及评分标准
一、选择题(每小题2分,共12分,将正确答案的题号填在下面的表格中)
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A D C B D B
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
7.—13,3 8.x≥-2 9.4(a+2)(a-2) 10.23-2
11.四边形的对角线互相平分,这个四边形是平行四边形 12.(2,1) 13.25π
14.-1<x<0或x>1 15.x[1200-20(x-30)]=38500 16.23
三、解答题(本大题共11小题,共88分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(8分)
(1) 解:原式=4+1+3-1 ……………………3分
=4+3 ……………………4分
(2) 解:①×2+②,得5x=5,x=1,……………………2分
将x=1代入①,得y=-1. ……………………3分
原方程组的解为 ……………………4分
18.(5分)解:原式= ……………………3分
= ……………………4分
= ……………………5分
19.(7分)解:
(1)m=30,n=20;……………………2分
(2)90°; ……………………5分
(3)估计这所学校本次听写比赛不合格的
学生人数为: 900×(10%+15%+25%)……6分
=450人.……………………7分
20.(7分) (1)12;……………………2分
(2)从袋中任意摸出两个球,有①②、①③、①④、②③、②④,③④共6种可能,
……………………5分
且都是等可能的,其中,都为奇数只有①③一种可能,所以摸到的球的编号都为
奇数的概率为16. ……………………7分
21.(8分)(1)
证明∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠EAO=∠FCO.……………………1分
∵EF是AC的垂直平分线,
∴AO=CO,∠EOA=∠FOC=90°,…………2分
∴△AEO≌△CFO,
∴AE=CF. …………3分
∴四边形AFCE是平行四边形.…………4分
又∵AC⊥EF,
∴四边形AFCE是菱形. …………5分
(2)设AF=CF=x,则BF=4—x,…………6分
在直角△ABF中,AF2=AB2+BF2,即x2=32+(4—x) 2,…………7分
解得 x=258.所以菱形AFCE的边长为258.…………8分
22.(7分)解:过点C作CD⊥AB,
则∠BCD=27°,∠ACD=60°, …………1分
在Rt△BDC中,由tan ∠BCD= ,
∴BD=CD tan27°=0.5CD; …………3分
在Rt△ADC中,由tan ∠ACD=
∴AD=CD tan60°=3CD; …………4分
∵AD+BD=3CD+0.5CD=4,
∴CD=4 3+0.5 . …………5分
在Rt△ADC中,∵∠ACD=60°,∴∠CAD=30°,
∴AC=2CD=8 3+0.5≈3.6.
∴灯塔C与观测点A的距离为3.6 km.…………7分
23.(7分)解:设普通列车的平均速度为x千米/时,
则高铁的平均速度是2.5x千米/时. …………1分
依题意,得 …………4分
解得:x=120.
经检验,x=120是原方程的解,且符合题意.…………5分
所以2.5x=300. …………6分
答:高铁行驶的平均速度是300千米/时. …………7分
24.(8分)
(1)证明:连结OB.
∵OA=OB,∴∠A=∠OBA.
又∵BC=PC,∴∠P=∠CBP. …………1分
∵OP⊥AD,∴∠A+∠P=90°,
∴∠OBA+∠CBP=90°,…………2分
∴∠OBC=180°-(∠OBA+∠CBP)=90°.…………3分
∵点B在⊙O上,
∴直线BC是⊙O的切线. …………4分
(2)连结DB.
∵AD是⊙O的直径,∴∠ABD=90°,
∴Rt△ABD∽Rt△AOP.…………6分
∴ABAO=ADAP,即 23=6AP ,AP=9,…………7分
∴BP =AP—BA=9—2=7. …………8分
25.(8分)解:(1)
法一:y=x2-ax-2a2 =(x+a)(x-2a),
令y=0,则x1=-a,x2=2a, …………2分
∵a≠0,x1、x2的值必为一正一负, …………3分
∴该二次函数的图像与x轴的正半轴、负半轴各有一个交点; …………4分
法二:由y=0得:x2-ax-2a2 =0(*),
∵△=(-a)2-4×1×(-2a2)=9a2,a≠0,
∴△>0,∴(*)有二个不相等的值数根.设二实数根为x1,x2,…………2分
∵x1x2=-2a2<0,∴(*)有2个异号的实数根
∴该二次函数的图像与x轴的正半轴、负半轴各有一个交点;…………4分
(2)由题意,得-2a2=-2 ,所以a=1或-1. …………5分
当a=1时,y=x2-x-2=(x-12)2-94,顶点坐标为(12,-94) …………6分
当a=-1时,y=x2+x-2=(x+12)2-94,顶点坐标为(-12,-94)…………7分
该函数图像的顶点坐标为(12,-94)或(-12,-94).…………8分
26.(10分)解:(1)AD=2cm,BC=5cm; …………2分
(2)过A作AH⊥BC,H为垂足,由已知BH=3,BA=BC=5,∴AH=4
∴当点E、F分别运动到A、C时△EBF的面积为:12×BC×AH=12×5×4=10,
即a的值为10, …………4分
点N所表示的实际意义:当点E运动7s时到达点D,此时点F沿BC已运动到点C
并停止运动,这时△EBF的面积为10 cm2; …………6分
(3) 522 或9. …………10分
27.(13分)解:(1)5;5 …………2分
(2)线段y=5-x(0≤x≤5) …………5分
(3)①如图3,作CE⊥OT于点E,CF⊥x轴于点F,
延长FC交OT于点H,则CF =1.由直线OT对应的
函数关系式为y=43x,所以点H的坐标为H(4,163),
求得CH=133,OH=203,…………6分
∵△HEC∽△HFO,∴ECFO=HCHO ,
即 EC4=133203 , EC=135,…………7分
∴d(∠xOT,C) =135+1=185. …………8分
②如图4,作QG⊥OT于点G,QH⊥x轴于点H,交 OT于点K.
设点Q的坐标为 ,其中3≤m≤5,则 .
可求得:K点坐标为(m, 43m),QK
∴HK=43m, OK=53m.
∵Rt△QGK∽Rt△OHK,∴ .
∴ …………10分
∴d(∠xOT,Q)=
∴ 当 (在3≤m≤5范围内)时,d(∠AOB,Q)取得最大值 . ………12分
此时,点Q的坐标为 . ………………13分
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