数学辅导知多少:直线与圆锥曲线相的“情仇”
导读:辅导课,一直被教育行业所禁止,可它已经成为行业潜规则。家长担心孩子跟不上,纷纷找老师、辅导机构开小灶,这也算辅导机构越办越红火的原因之一吧。在这些辅导中,数学辅导是一个大热门,无论你是小学、初中、高中,数学都是家长与孩子选择的第一课。其中,直线与圆锥曲线辅导也算一个大热门,那么,它究竟为什么会难道这么多学生党呢?且容查字典数学网小编末宝娓娓道来。
研究直线与圆锥曲线的位置关系时,一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数,但对于选择、填空题也可以利用几何条件,用数形结合的方法求解.
1.直线与圆锥曲线的位置关系,主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用.
2.当直线与圆锥曲线相交时:涉及弦长问题,常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目中的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点,韦达定理求弦长,根的分布找范围,曲线定义不能忘”.
一、直线与圆锥曲线的位置关系
判定直线与圆锥曲线的位置关系时,通常是将直线方程与曲线方程联立,消去变量y(或x)得关于变量x(或y)的方程:ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).
若a≠0,可考虑一元二次方程的判别式Δ,有:
Δ>0?直线与圆锥曲线相交;
Δ=0?直线与圆锥曲线相切;
Δ<0?直线与圆锥曲线相离.
若a=0且b≠0,则直线与圆锥曲线相交,且有一个交点.
典型例题1:
二、圆锥曲线的弦长问题
典型例题2:
1、解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种:几何法和代数法.
(1)、若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法;
(2)、若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值,这就是代数法.
2、在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑:
(1)、利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;
(2)、利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系;
(3)、利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;
(4)、利用基本不等式求出参数的取值范围;
(5)、利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围.
典型例题3:
1、求定值问题常见的方法有两种
(1)、从特殊入手,求出表达式,再证明这个值与变量无关;
(2)、直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.
2、定点的探索与证明问题
(1)、探索直线过定点时,可设出直线方程为y=kx+b,然后利用条件建立b、k等量关系进行消元,借助于直线系方程找出定点;
(2)、从特殊情况入手,先探求定点,再证明一般情况.
典型例题4:
数学是一块神奇的土地,播种了一种解题思路,便会有高分结果的收获。在此道路上你若有了数学辅导的加持,只有事倍功半。更多数学辅导资讯,敬请关注查字典数学网。
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