国际奥林匹克数学竞赛试题分享
国际奥林匹克数学竞赛(International Mathematics Olympiad,简称IMO)有"数学世界杯"之称,创办于1959年,每年举办一次,由参赛国轮流主办。目的是为了发现并鼓励世界上具有数学天份的青少年,为各国进行科学教育交流创造条件,增进各国师生间的友好关系。
今天,查字典数学网小编就给大家分享了第一届IMO试题,考验大家的智商时刻到了,一起来试试吧。
1. 求证(21n+4)/(14n+3)对每个自然数n都是最简分数。
2. 设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A,试在以下3种情况下分别求出x的实数解:(a)A=√2;(b)A=1;(c)A=2。
3.a、b、c都是实数,已知cosx的二次方程 acos2x+bcosx+c=0,试用a,b,c作出一个关于cos2x的二次方程,使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较cosx和cos2x的方程式。
4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的c,斜边上的中线是两直角边的几何平均值。
5. 在线段AB上任意选取一点M,在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF,这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q,设这两个外接圆又交于M、N,(a.)求证AF、BC相交于N点;(b.)求证不论点M如何选取直线MN都通过一定点S;(c.)当M在A与B之间变动时,求线断PQ的中点的轨迹。
6. 两个平面P、Q交于一线p,A为p上给定一点,C为Q上给定一点,并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD(AB平行于CD),使得它有一个内切圆,并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。
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