2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果，以下是圆锥曲线专项提升练习题及答案，希望对考生有帮助。

1.双曲线的方程为=1(a0，b0)，焦距为4，一个顶点是抛物线y2=4x的焦点，则双曲线的离心率e=()

A.2 B. 1C.3 D.5

2.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()

A. (0，1) B.(1，5) C. (1，3)D.(0，2)

3.设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点。若=0，则||+||+||=()

A.9 B.6 C.4 D.3

4.已知抛物线y2=2px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()

A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2

5.已知A，B，P是双曲线=1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPAkPB=，则该双曲线的离心率为()

A.1 B.2 C. -1 D.-2

6.已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是()

A.4 B.3 C.4 D.8

7.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p=( )。

8.(2014湖南，文14)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x=-1的距离相等。若机器人接触不到过点P(-1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是( )。

9.已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为F(，0)，直线y=x-1与其相交于M， N两点，线段MN中点的横坐标为-，求此双曲线的方程。

10.(2014安徽，文21)设F1，F2分别是椭圆E:=1(a0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|F1B|。

(1)若|AB|=4，ABF2的周长为16，求|AF2|;

(2)若cosAF2B=，求椭圆E的离心率。

11.已知点F是双曲线=1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率是()

A. B.2 C.1+ D.2+

12.(2014湖北，文8)设a，b是关于t的方程t2cos+tsin=0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线=1的公共点的个数为()

A.0 B.1 C.2 D.3

13.已知椭圆C:=1(a0)的离心率为，双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()

A.=3 B.=1C.=-1D=-2

14.(2014江西，文20)如图，已知抛物线C:x2=4y，过点M(0，2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)。

(1)证明：动点D在定直线上;

(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y=2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2-|MN1|2为定值，并求此定值。

15.已知点A(0，-2)，椭圆E:=1(a0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点。

(1)求E的方程;

(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程。

参考答案

1.A。解析：抛物线y2=4x的焦点为(1，0)，则在双曲线中a=1.又2c=4，c=2，e==2。

2.C。解析：设F1，F2为焦点，由题意知，点M的轨迹是以F1F2为直径的圆，

则c1或k-1。

9.解：设双曲线的方程为=1(a0，b0)，

则a2+b2=()2=7。

由消去y，得=1。

整理，得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0。(*)

由直线y=x-1与双曲线有两个交点知ab，

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则x1和x2为方程(*)的根，

于是x1+x2=。

由已知得=-，

则=-，即5a2=2b2。

由得故所求双曲线方程为=1。

10.解：(1)由|AF1|=3|F1B|，|AB|=4，

得|AF1|=3，|F1B|=1。

因为ABF2的周长为16，

所以由椭圆定义可得4a=16，

|AF1|+|AF2|=2a=8。

故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5。

(2)设|F1B|=k，则k0，

且|AF1|=3k，|AB|=4k。

由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k，|BF2|=2a-k。

在ABF2中，由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2||BF2|cosAF2B，

即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)(2a-k)，

化简可得(a+k)(a-3k)=0，

而a+k0，故a=3k。

于是有|AF2|=3k=|AF1|，|BF2|=5k。

因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2，可得F1AF2A，

故AF1F2为等腰直角三角形。

从而c=a，所以椭圆E的离心率e=。

11.B。解析：将x=-c代入双曲线方程得A。

由ABE是直角三角形，得=a+c，

即a2+ac=b2=c2-a2，

整理得c2-ac-2a2=0。

e2-e-2=0，

解得e=2(e=-1舍去)。

12.A。解析：可解方程t2cos+tsin=0，

得两根0，-。

不妨设a=0，b=-，

则A(0，0)，B，

可求得直线方程y=-x，

因为双曲线渐近线方程为y=x，

故过A，B的直线即为双曲线的一条渐近线，直线与双曲线无交点，故选A。

13.D。解析：因为椭圆的离心率为，

所以e=，c2=a2，a2=a2-b2。

所以b2=a2，即a2=4b2。

因为双曲线的渐近线为y=x，代入椭圆得=1

即=1，

所以x2=b2，x=b，y2=b2，y=b。

则在第一象限的交点坐标为。

所以四边形的面积为4bb=b2=16.解得b2=5，

故椭圆方程为=1。

14.(1)证明：依题意可设AB方程为y=kx+2，代入x2=4y，得x2=4(kx+2)，即x2-4kx-8=0。

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则有x1x2=-8，

直线AO的方程为y=x;BD的方程为x=x2。

解得交点D的坐标为

注意到x1x2=-8及=4y1，

则有y==-2。

因此D点在定直线y=-2上(x0)。

(2)解：依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y=ax+b(a0)，

代入x2=4y得x2=4(ax+b)，

即x2-4ax-4b=0，

由=0得(4a)2+16b=0，化简整理得b=-a2.

故切线l的方程可写为y=ax-a2。

分别令y=2，y=-2得N1，N2的坐标为N1，N2。

则|MN2|2-|MN1|2=+42-=8，

即|MN2|2-|MN1|2为定值8。

15.解：(1)设F(c，0)，由条件知，得c=。

又，所以a=2，b2=a2-c2=1。

故E的方程为+y2=1

(2)当lx轴时不合题意，故设l:y=kx-2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)。

将y=kx-2代入+y2=1，

得(1+4k2)x2-16kx+12=0。

当=16(4k2-3)0，即k2时，x1，2=。

从而|PQ|=|x1-x2|=。

又点O到直线PQ的距离d=，

所以OPQ的面积SOPQ=d|PQ|=。

设=t，则t0，

SOPQ=。

因为t+4，当且仅当t=2，即k=时等号成立，且满足0。

所以，当OPQ的面积最大时，l的方程为y=x-2或y=-x-2。

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