2013年浙江省三角形中考数学试题专题解析_题型归纳

2013年浙江省三角形中考数学试题专题解析

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2013年浙江省三角形中考数学试题专题解析

一、选择题

1.(2016浙江杭州3分)如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1.若OC∥BA，AOC=36，则【】

A.点B到AO的距离为sin54 B.点B到AO的距离为tan36

C.点A到OC的距离为sin36sin54D.点A到OC的距离为cos36sin54

【答案】C。

【考点】平行线的性质，点到直线的距离，锐角三角形函数定义。

【分析】由已知，根据锐角三角形函数定义对各选项作出判断：

A、由于在Rt△ABO中AOB是直角，所以B到AO的距离是指BO的长。

∵AB∥OC，BAO=AOC=36。

在Rt△BOA中，∵AOB =90，AB=1，

BO=ABsin36=sin36。故本选项错误。

B、由A可知，选项错误。

C、如图，过A作ADOC于D，则AD的长是点A到OC的距离。

在Rt△BOA中，∵BAO=36，AOB=90，ABO=54。

AO=AB sin54= sin54。

在Rt△ADO中， AD=AOsin36=ABsin54sin36=sin54sin36。故本选项正确。

D、由C可知，选项错误。

故选C。

3.(2016浙江湖州3分)如图，在Rt△ABC中，ACB=90，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是【】

A.20 B.10 C.5 D.

【答案】C。

【考点】直角三角形斜边上的中线性质。

【分析】由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出CD的长：

∵在Rt△ABC中，ACB=90，AB=10，CD是AB边上的中线，

CD= AB=5。故选C。

4. (2016浙江嘉兴、舟山4分)如图，A、B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC=a米，A=90，C=40，则AB等于【】米.

A. asin40 B. acos40 C. atan40 D.

【答案】C。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。

【分析】∵△ABC中，AC=a米，A=90，C=40，

AB=atan40。故选C。

5. (2016浙江宁波3分)如图，在Rt△ABC中，C=90，AB=6，cosB= ，则BC的长为【】

A.4B.2 C. D.

【答案】A。

【考点】锐角三角函数的定义。

【分析】∵cosB= ，。

又AB=6，。故选A。

二、填空题

1. (2016浙江湖州4分)如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形，若，则△ABC的边长是 ▲

【答案】12。

【考点】一元二次方程的应用(几何问题)，菱形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义。

【分析】设正△ABC的边长为x，则由勾股定理，得高为，。

∵所分成的都是正三角形，

根据锐角三角函数定义，可得黑色菱形的较长的对角线为，较短的对角线为。

黑色菱形的面积= 。

，整理得，11x2-144x+144=0。

解得 (不符合题意，舍去)，x2=12。

所以，△ABC的边长是12。

2. (2016浙江、舟山嘉兴5分)如图，在Rt△ABC中，ABC=90，BA=BC.点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交GD、CA于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接DF.给出以下四个结论：

① ;②点F是GE的中点;③AF= AB;④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是 ▲ .

【答案】①③。

【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质。

【分析】∵在Rt△ABC中，ABC=90，ABBC。

又∵AGAB，AG∥BC。△AFG∽△CFB。。

∵BA=BC，。故①正确。

∵ABC=90，BGCD，DBE+BDE=BDE+BCD=90。DBE=BCD。

∵AB=CB，点D是AB的中点，BD= AB= CB。。

又∵BG丄CD，DBE=BCD。在Rt△ABG中，。

∵ ，FG= FB。故②错误。

∵△AFG∽△CFB，AF：CF=AG：BC=1：2。AF= AC。

∵AC= AB，AF= AB。故③正确。

设BD= a，则AB=BC=2 a，△BDF中BD边上的高= 。

S△ABC= ， S△BDF

S△ABC=6S△BDF，故④错误。

因此，正确的结论为①③。

三、解答题

1. (2016浙江丽水、金华6分)学校校园内有一小山坡AB，经测量，坡角ABC=30，斜坡AB长为12米.为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1：3(即为CD与BC的长度之比).A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.

【答案】解：在Rt△ABC中，ABC=30，

AC= AB=6，BC=ABcosABC=12 。

∵斜坡BD的坡比是1：3，CD= 。AD=AC-CD=6- 。

答：开挖后小山坡下降的高度AD为(6- )米。

【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题)，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】在直角△ABC中，利用三角函数即可求得BC、AC的长，然后在直角△BCD中，利用坡比的定义求得CD的长，根据AD=AC-CD即可求解。

2. (2016浙江绍兴8分)如图1，某超市从一楼到二楼的电梯AB的长为16.50米，坡角BAC为32。

(1)求一楼于二楼之间的高度BC(精确到0.01米);

(2)电梯每级的水平级宽均是0.25米，如图2.小明跨上电梯时，该电梯以每秒上升2级的高度运行，10秒后他上升了多少米(精确到0.01米)?备用数据：sin32=0.5299，con32=0.8480，tan32=6249。

【答案】解：(1)∵sinBAC= ，BC=ABsin32=16.500.52998.74米。

(2)∵tan32= ，级高=级宽tan32=0.250.6249=0.156225

∵电梯以每秒上升2级，10秒钟电梯上升了20级。

小明上升的高度为：200.1562253.12米。

【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题)，锐角三角函数定义。

【分析】(1)直接根据正弦函数定义可求一楼于二楼之间的高度BC。

(2)由每级的水平级宽均是0.25米，根据正切函数定义可求每级的级高，从而由电梯以每秒上升2级可得电梯上升的级数，因此即可求得小明上升的高度。

3. (2016浙江绍兴10分)联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念。

定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心。

举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心。

应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD= AB，求APB的度数。

探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长。

【答案】解：应用：①若PB=PC，连接PB，则PCB=PBC，

∵CD为等边三角形的高，AD=BD，PCB=30。

PBD=PBC=30，PD= DB= AB。

与已知PD= AB矛盾，PBPC。

②若PA=PC，连接PA，同理可得PAPC。

③若PA=PB，由PD= AB，得PD=AD =BD，APD=BPD=45。APB=90。

探究：∵BC=5，AB=3，AC= 。

①若PB=PC，设PA= ，则，，即PA= 。

②若PA=PC，则PA=2。

③若PA=PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能。

PA=2或。

【考点】新定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理。

【分析】应用：连接PA、PB，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系，然后判断出只有情况③是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出APB=45，然后即可求出APB的度数。

探究：先根据勾股定理求出AC的长度，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况，根据三角形的性质计算即可得解。

4. (2016浙江绍兴12分)小明和同桌小聪在课后复习时，对课本目标与评定中的一道思考题，进行了认真的探索。

【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米?

(1)请你将小明对思考题的解答补充完整：

解：设点B将向外移动x米，即BB1=x，

则B1C=x+0.7，A1C=AC﹣AA1=

而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由得方程，

解方程得x1= ，x2= ，

点B将向外移动米。

(2)解完思考题后，小聪提出了如下两个问题：

【问题一】在思考题中，将下滑0.4米改为下滑0.9米，那么该题的答案会是0.9米吗?为什么?

【问题二】在思考题中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗?为什么?

请你解答小聪提出的这两个问题。

【答案】解：(1) ;0.8，﹣2.2(舍去);0.8。

(2)①不会是0.9米，理由如下：

若AA1=BB1=0.9，则A1C=2.4﹣0.9=1.5，B1C=0.7+0.9=1.6，1.52+1.62=4.81，2.52=6.25，

∵ ，该题的答案不会是0.9米。

②有可能。理由如下：

设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，

则有，解得：x=1.7或x=0(舍去)。

当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等。

【考点】勾股定理的应用，一元二次方程的应用。

【分析】(1)直接把B1C、A1C、A1B1的值代入进行解答即可。

(2)把(1)中的0.4换成0.9可知原方程不成立;设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米代入(1)中方程，求出x的值符合题意。

5. (2016浙江台州8分)如图，为测量江两岸码头B、D之间的距离，从山坡上高度为50米的A处测得码头B的俯角EAB为15，码头D的俯角EAD为45，点C在线段BD的延长线上，ACBC，垂足为C，求码头B、D的距离(结果保留整数).

【答案】解：∵AE∥BC，ADC=EAD=45。

又∵ACCD，CD=AC=50。

∵AE∥BC，ABC=EAB=15。

又∵ ，。

BD185.2﹣50135(米)。

答：码头B、D的距离约为135米。

【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)，等腰直角三角形的性质，平行的性质，锐角三角函数定义。

【分析】由EAB=15，根据平行的性质，可得ABC=EAB=15。从而解直角三角形ABC可求得BC的长。由ADC=EAD=45可得CD=AC=50。从而由BD=BC-CD可求得B、D的距离。

6. (2016浙江台州12分)已知，如图1，△ABC中，BA=BC，D是平面内不与A、B、C重合的任意一点，ABC=DBE，BD=BE.

(1)求证：△ABD≌△CBE;

(2)如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论.

【答案】(1)证明：∵ABC=DBE，ABC+CBD=DBE+CBD。ABD=CBE。

在△ABD与△CBE中，BA=BC，ABD=CBE，BD=BE，

△ABD≌△CBE(SAS) 。

(2)解：四边形BDEF是菱形。证明如下：

由(1)△ABD≌△CBE，CE=AD。

∵点D是△ABC外接圆圆心，DA=DB=DC。

又∵BD=BE，BD=BE=CE=CD。

四边形BDCE是菱形。

【考点】等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外接圆的性质，菱形的判定。

【分析】(1)由ABC=DBE，根据等量加等量和相等，得ABD=CBE，从而根据SAS即可证得结论。

(2)由三角形外接圆圆心到三个顶点距离相等的性质和(1)的结论，得到四边形四边相等，从而得出结论。

7. (2016浙江温州9分)某海滨浴场东西走向的海岸线可以近似看作直线l(如图).救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号，他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙.乙马上从C处入海,径直向B处游去.甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处,再向B处游去.若CD=40米,B在C的北偏东35方向,甲乙的游泳速度都是2米/秒.问谁先到达B处?请说明理由.

(参考数据：sin550.82,cos550.57,tan551.43)

8. (2016浙江义乌6分)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF.添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明.你添加的条件是 .(不添加辅助线).

【答案】解：添加的条件是：DE=DF(或CE∥BF或ECD=DBF或DEC=DFB等)。

以添加DE=DF证明：

在△BDF和△CDE中，

∵BD=CD(已知)，EDC=FDB(对项角相等)，DE=DF(添加)，

△BDF≌△CDE(SAS)。

【考点】全等三角形的判定。

【分析】由已知BD=CD，又EDC﹦FDB，因为三角形全等条件中必须是SSS，SAS，ASAA或AAS，故添加的条件是：DE=DF(或CE∥BF或ECD=DBF或DEC=DFB等)。

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