最短路线(一)<练习题>
1.甲、乙、丙是三个镇,中间有一条河把甲、丙和乙隔开,如图13—12,要使这三个镇中任何两个镇之间都有最短通路,除了在甲、丙之间修一条直线型公路外,还需要在河面上架两座桥,使甲与乙、乙与丙之间也有通路.这两座桥应架在什么地方最合理.
2.有两条通讯路线a和b,如图13—13,通讯员从c处出发,查完两条线后到d处,作图表示他怎样走路程最短(假设到达通讯线路的任何一处都可完成查线工作)?
3.要在两条街道(如图13—14)a和b上各设立一个邮筒,m处是邮局,问邮筒设在哪里才能使邮递员从邮局出发,到两个邮筒取完信再回到邮局的路程最短?
4.一个小虫从圆柱体(如图13—15)的a点处绕圆柱体侧面一周,最后爬到顶点b处.请画出小虫从a点绕到圆柱体侧面到达b点的最短路线.
5.如图13—16,a、b、c三点分别是正方体三条棱的中点.假设一只蚂蚁沿着正方体的表面从中点a爬到中点c,图中所示路线是否为蚂蚁爬行的最短路线,为什么?
仅供参考:
1.如图13-1’所示,桥应架在ab、cd位置上.
2.如图13-2’所示,沿c→p→q→d走路程最短.
3.如图13-3’所示,邮筒应设在e、f两点,沿m→e→f→m路线为最短.
4.将圆柱体的侧面展开成一个长方形,如图13-4’.从a到b的直线段最短,把侧面展开图卷成圆柱,那么直线段ab就变成圆柱体侧面上的曲线ab,小虫沿着这条曲线爬行是最短路线.
5.要求a到c的最短路线,可以先把立方体展开,使它相邻两个面处于同一平面内.蚂蚁从a到c有两条路线可以选择:
(1)将朝上的一面与朝前的一面展开在同一平面内,连结ac,则ac一定过中点b,如图13-5’.假设正方体的棱长为2个长度单位,则由勾股定理,得:
ac2=22+22=8
(2)把朝前和朝右的一面展开在同一平面内,连结ac,如图13-6’.同样可以求得
ac2=12+(2+1)2=10
比较两种路线,由于8小于10,所以沿第一条路线从a到c的路线为最短,即图13-21所示路线是蚂蚁爬行的最短路线.
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