课题学习的案例：折叠问题初探_教学随笔

课题学习的案例：折叠问题初探

教学目标：

知识与技能：在折纸的情境中，建立现实生活问题与几何的联系，培养联想、类比由特殊到一般等数学的思考方式，渗透转化与划归的数学思想，能较为综合运用角平分线、平行线及与三角形,多边形相关角的一些知识。

过程与方法：经历做数学（实践），思考，再合情推理的数学知识形成过程；通过观察一探索一猜想一验证的学习过程，体会科学发现的一般规律。

情感态度、价值观：建立一些活动(折纸)与几何世界的多种联系，激发学习几何的兴趣。

感受到运动中蕴涵着静止，变与不变得辩证关系，在折纸中加强学生的发现探究能力和创造力。

教学重点：折叠图形的中几何问题的发现和解决,让学生提问与质疑、尝试与探究、讨论与交流、归纳与总结。促使学生思维开放，在积极探索中形成创新性的思考与看待问题的方式，并藉此获得知识.

教学难点：折叠运动变化中存在的等量关系的发现和如何利用折叠中的不变量解决具体问题

教学方式：探索式,启发式

教学手段：计算机辅助，几何画版课件，flash课件一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节课要研究的内容:

折纸与几何解题活动1：如图1，将一张长方形纸片如图1折叠，其中EF, FH为折痕，试判断∠EFH的度数？说明理由。

学生活动设计：学生将手中的长方形纸片折叠后，直角的结论明显，并积极思考理由。

教师活动设计：此题结论明显，易操作，主要目的使学生感受折叠过程中表现出重合（全等）的特性，从而造成的折痕为角平分线，从此题中得出本题实质是临补角的角平分线互相垂直，进一步得到思想方法，化复杂图形为基本图形；运动中有静止。（板书）解答：∠EFH＝90° 理由：由折叠过程可知: ∠1=∠2, ∠3=∠4 又∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180° 所以∠1＋∠3＝90° 即∠EFH＝90° 小结：折叠过程所呈现出的几何等量是由于重合。活动2．如果将一张长方形纸片，沿着对角线折起一个角，使C点落在E处，BE与AD相交与点O（如图2）这时我们能观察到什么呢？请说明理由。

学生活动设计：学生将手中的长方形纸片折叠后，会发现许多的结论，并积极思考理由。

教师活动设计：此题易操作，结论颇多，是一个开放性问题，主要目的使学生进一步体会思想方法，化复杂图形为基本图形；运动中有静止。并积极搜索自己大脑中的知识库，给出合理的理由。（板书）结论： ∠E=∠C, ∠EDB=∠BDC, ∠EBD=∠CBD (动中有静 ∠ODB=∠CBD=∠EDB,∠AOB=∠EOD,∠BDC=∠ABD=∠EDB, ∠OBD=∠ODB, ∠ABO=∠EDO（各类基本图形） AB=CD=ED, AD=BC=BE,OA=OE,OB=OD（可用等积法说明OA=OE） S△ABD=S△BDC= S△BED S△ABO= S△EOD AE//BD 注：此时学生还没有学三角形全等和等腰三角形有关知识

探究活动：把三角形纸片折起一角，角的顶点会落在什么位置呢？新形成的∠1，∠2和∠A之间有什么数量关系?

学生活动设计：学生将手中的三角形纸片折叠后，会发现有三种可能。

教师活动设计：此题是一个一题多变，一题多解的比较综合的问题，有一定难度。主要目的使学生加深体会思想方法，化复杂图形为基本图形；运动中有静止。引导学生从特殊到一般进行探究。探究1：(1)如图3（1），把三角形ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的边BD上时，则∠A与∠2之间有什么数量关系，请你试着找一找这个规律。并说明你的理由。探究2：(2) 如图3（2），把三角形ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部时，则∠A与∠1，∠2之间有什么数量关系，请你试着找一找这个规律。并说明你的理由。

学生活动设计：学生将手中的三角形纸片折叠后，在本上画出图形，积极思考，给出证明。

教师活动设计：给学生足够的时间思考，教师可巡视，然后请学生发表见解，师倾听同时板书学生思路并再次强调基本图形（三角形，四边形）和折叠中的不变量。结论：2∠A＝∠2＋∠1 简略思路1：利用四边形ADA’E和三角形ADE 思路2：利用四边形BCED和三角形ABC 思路3：利用临补角∠2和∠AEA’, ∠1和∠ADA’以及三角形ABC 思路4：联结AA’利用三角形外角性质（此法最简洁，思路转化向探究1情况）注：本题还有其他解法，利用作平行线等，学生若没想到就避开。探究(3)如图3（3），把三角形ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED外部时，则∠A与∠1，∠2之间有什么数量关系，请你试着找一找这个规律。并说明你的理由。结论：2∠A＝∠2－∠1 引导学生：思路转化向探究1，2联结AA’利用三角形外角性质情况，可解。教师追问：∠A与∠1，∠2之间的数量关系能统一到一种形式吗？（

知识升华）

引导：利用内，外具有相反意义若规定角的正负，就可以统一到 2∠A＝∠2＋∠1（探究1中∠1＝0，探究2中∠10,探究3中∠10）

师生小结：思想方法 ① 复杂的图形转化为

基本图形 ② 从

运动变化中寻找

不变性的思想 ③ 从

折叠与展开过程中体会到逆向思维课后练习：（1）如果将一张长方形纸片按图4折叠，如果点C落在AD上呢？你能观察到什么呢？请说明理由。（2）如图5在一张纸上画一条直线和一个点，你能否利用折叠的方法，经过一点作已知直线的平行线？谈谈你的理由！课后反思：折纸活动本身能唤起学生很多美好的回忆，如折纸飞机、纸帆船、千纸鹤。另一方面，折纸活动又是一种有效的操作活动，学生可以通过自己动手操作来感悟图形的几何性质，运用图形运动去发现问题、分析问题。而且折纸活动本身也承载着许多重要的几何问题，可以提炼出更一般的几何方法，它对于培养学生的学习兴趣、好奇心与探索精神，有重要的价值。通过设计折纸活动让学生动手实践，自主探索与合作交流，丰富了学生的学习方式和教师的教学方式，在此过程中，学生找到了学习的乐趣，教师对教与学的方式也有了新的认识。 1．背景用“操作”、“观察”、“猜想”、“分析”的手段去感悟几何图形的性质是学习几何的方法。A.关于

互为临补角的角平分线互相垂直这一结论学生已经知道，用折纸的背景将条件隐藏起来，从学生已有的生活经验、数学基础出发，重新设计“互为临补角的角平分线互相垂直”的教学过程。让学生从研究折叠中的图形性质探索出结论并加以证明。此题折叠效果明显，结论唯一，证明易操作。B.关于

长方形沿对角线的折叠这个问题背景简单，但隐含条件和结论异常丰富，是向学生发起挑战的一题，大量的线，角关系。学生得到的三角形全等，线段相等（等积法）体现了学生的探索深度，可惜A,E两点连线//对角线BD没有给出。C.关于

三角形折叠一个锐角的问题是一个从特殊到一般的探究，结论可以统一起来

2∠A=∠1＋∠2（只需规定∠1的正负），可惜联结A,A’的方法没有由学生给出来。 B,C两个问题如果折叠的角度小于180゜会在立体几何中有后续探究。布鲁纳也指出：“我们教一门科目，并不是希望学生成为该科目的一个小型书库，而是要他们参与获得知识的过程。学习是一种过程，而不是结果。”可见，让学生在活动中“学会学习”本身比“学会什么”更重要。

．培养学生数学地思维，提高数学素养数学的特点之一是高度抽象。如抽象的概念、抽象的关系，但它们都有非常多的现实背景。该课例在教学设计中关注了这个特点，力图体现数学事实的现实背景，并从中选取与学生生活世界密切相关的情境，使学生思维的抽象过程犹如“自然”发生。数学的另一特点是严密性，表现为逻辑严格与计算精确，这种严密过程正体现了人类认识的逐渐深化。在课例中，我们也注意了学生的认知特点，在“直观几何”到“证明几何”的严谨化过程之中做一过渡，以此启蒙证明与反驳的思维方式。同时，这反映了一个逐渐追求严谨的过程。在课例设计的问题解决活动中，体现了一些数学思想方法：(1)思考问题的逆(反方向)，(2)从一般问题的特例人手，寻找问题解决的思路；(3)把一个复杂问题转化为解决过的基本问题的转化与化归思想；(4)归纳与分类的思想(把折纸中发现的诸多关系归纳出来，并进行分类)；(5)从变化中寻找不变性的思想. 此外，教师在设计活动式教学时体会到，设计的探究步伐大小是很重要的。我们的认识是探索与尝试的步子一定要适合学生的实际。要让学生面对适度的困难，诱发探索与思考的兴趣，并从这种克服困难的过程中有一定的收获，有一些成就感。但设计的问题不宜太难，否则学生会在问题面前过多徘徊，浪费许多宝贵时间。活动开始时，探索与尝试的步子要小一些，使得更多的学生有机会投入与参与。随着学生对环境、情境、问题的熟悉，探索与尝试的步子可以加大，不断增加创造性因素。

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