平面向量与解析几何的综合
一. 教学内容:平面向量与解析几何的综合
二. 教学重、难点:
1. 重点:
平面向量的基本,圆锥曲线的基本。
2. 难点:
平面向量与解析几何的内在联系和知识综合,向量作为解决问题的一种工具的应用意识。
【典型例题
[例1] 如图,已知梯形ABCD中, ,点E分有向线段 所成的比为< > ,双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点,求双曲线的离心率.
解:如图,以AB的垂直平分线为 轴,直线AB为 轴,建立直角坐标系 轴,因为双曲线经过点C、D且以AB为焦点,由对称性知C、D关于 轴对称
设A( )B( 为梯形的高
∴
设双曲线为 则
由(1): (3)
将(3)代入(2):∴ ∴
[例2] 如图,已知梯形ABCD中, ,点E满足 时,求离心率 的取值范围。
解:以AB的垂直平分线为 轴,直线AB为 轴,建立直角坐标系 轴。
因为双曲线经过点C、D,且以A、B为焦点,由双曲线的对称性,知C、D关于 轴对称 高中生物。
依题意,记A( )、E( 是梯形的高。
由
得
设双曲线的方程为 ,则离心率由点C、E在双曲线上,将点C、E的坐标和由(1)式,得 (3)
将(3)式代入(2)式,整理,得故 ,得解得所以,双曲线的离心率的取值范围为
[例3] 在以O为原点的直角坐标系中,点A( )为 的直角顶点,已知 ,且点B的纵坐标大于零,(1)求 关于直线OB对称的圆的方程。(3)是否存在实数 ,使抛物线 的取值范围。
(1)设 ,则由 ,即 ,得 或
因为
所以 ,故
(2)由 ,得B(10,5),于是直线OB方程:由条件可知圆的标准方程为:得圆心(
设圆心( )则 得 ,
故所求圆的方程为(3)设P( )为抛物线上关于直线OB对称的两点,则
得
即 、于是由故当 时,抛物线(3)二:设P( ),PQ的中点M(∴ (1)-(2): 代入∴ 直线PQ的方程为
∴ ∴
[例4] 已知常数 , 经过原点O以 为方向向量的直线与经过定点A( 方向向量的直线相交于点P,其中 ,试问:是否存在两个定点E、F使 为定值,若存在,求出E、F的坐标,不存在,说明理由。(2003天津)
解:根据题设条件,首先求出点P坐标满足的方程,据此再判断是否存在两定点,使得点P到两定点距离的和为定值。
∵ ∴
因此,直线OP和AB的方程分别为 和消去参数 ,得点P( ,整理,得
① 因为(1)当(2)当 时,方程①表示椭圆,焦点E 和F 为合乎题意的两个定点;
(3)当 时,方程①也表示椭圆,焦点E 和F( )为合乎题意的两个定点。
[例5] 给定抛物线C: 夹角的大小,(2)设 求 在 轴上截距的变化范围
解:
(1)C的焦点F(1,0),直线 的斜率为1,所以 的方程为 代入方程 )、B(则有
所以 与
(2)设A( )由题设
即 ,由(2)得 ,
∴
依题意有 )或B(又F(1,0),得直线 方程为
当 或由 ,可知∴
直线 在 轴上截距的变化范围为
[例6] 抛物线C的方程为 )( 的两条直线分别交抛物线C于A( )两点(P、A、B三点互不相同)且满足 ((1)求抛物线C的焦点坐标和准线方程
(2)设直线AB上一点M,满足 ,证明线段PM的中点在 轴上
(3)当 ),求解:(1)由抛物线C的方程 ),准线方程为
(2)证明:设直线PA的方程为
点P( )的坐标是方程组 的解
将(2)式代入(1)式得
于是 ,故 (3)
又点P( )的坐标是方程组 的解
将(5)式代入(4)式得 ,故
由已知得, ,则设点M的坐标为( ),由 。则
将(3)式和(6)式代入上式得
即(3)解:因为点P( ,抛物线方程为由(3)式知 ,代入
将 得因此,直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为
于是, ,
因即 或
又点A的纵坐标 满足当 ;当 时,所以,
[例7] 已知椭圆 和点M( 的取值范围;如要你认为不能,请加以证明。
解: 不可能为钝角,证明如下:如图所示,设A( ),直线 的方程为
由 得 ,又 , ,若 为钝角,则
即 ,即
即
即∴
∴
【模拟】(答题时间:60分钟)
1. 已知椭圆 ,定点A(0,3),过点A的直线自上而下依次交椭圆于M、N两个不同点,且 ,求实数 的取值范围。
2. 设抛物线 轴,证明:直线AC经过原点。
3. 如图,设点A、B为抛物线 ,求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线。
4. 平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B( )若C满足 ,其中 ,求点C的轨迹方程。
5. 椭圆的中心是原点O,它的短轴长为 ,相应于焦点F( )的准线 与 轴相交于点A, ,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。
(1)求椭圆的方程;
(2)设 ,过点P且平行于准线 的直线与椭圆相交于另一点M,证明 ;
(3)若 ,求直线PQ的方程。
【试题答案】
1. 解:因为 ,且A、M、N三点共线,所以 ,且 ,得N点坐标为
因为N点在椭圆上,所以即所以
由
解得2. 证明:设A( )、B( )( ),则C点坐标为( 、
因为A、F、B三点共线,所以 ,即
化简得
由 ,得
所以
即A、O、C三点共线,直线AC经过原点
3. 解:设 、 、则 、
, ,
∵ ∴
即又
即 (2) ∵ A、M、B三点共线
∴
即
化简得 ③
将①②两式代入③式,化简整理,得
∵ A、B是异于原点的点 ∴ 故点M的轨迹方程是 ( )为圆心,以4. 方法一:设C(
由 ,且 ,
∴ 又 ∵ ∴
∴ 方法二:∵ ,∴ 点C在直线AB上 ∴ C点轨迹为直线AB
∵ A(3,1)B( ) ∴ 5. 解:(1) ;(2)A(3,0),
由已知得 注意解得 ,因F(2,0),M( )故
而
(3)设PQ方程为 ,由
得依题意 ∵
∴ ①及 ③
由①②③④得 ,从而所以直线PQ方程为
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★ 几何的三大问题
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