高一数学学习:集合大小定义的基本要求八
直觉的合理性和数学结构
在文章的最前面我们提到过,从直觉上说来,自然数的个数应该是正偶数的两倍,这里难道没有一点合理的因素在内吗?有时我们会听到数学家说:“几乎所有的自然数都不是素数。
”如果按照一一对应的原则,素数和自然数是一样多的(第一个素数2对应1,第二个素数3对应2,第三个素数5对应3,……第n个素数对应n,……),这不矛盾吗?
数学并不依赖于直觉,但是尊重直觉,直觉中常常包含着合理的因素。受过数学训练的人对数学的直觉一般来说要比其他人更有合理性,数学大师能够用直觉把握住很深刻的数学理论,他们有时会说:“虽然我还没有一个严格证明,但是我知道它是对的。”数学大师的直觉当然不是每个人能模仿的,但是我们的确可以改变对一些数学物体的想像方法,来改善自己的直觉,使得它更有合理性。
当我们谈到集合的大小,这里所谈论的集合应该是没有附加的数学结构的。当所比较的集合都是自然数的子集时,直觉往往会偷偷地把自然数的数学结构加在上面。什么是数学结构?让我们先从最一般的集合说起。当我们谈论集合时,高中语文,我们只应该把它看做一个装着元素的大袋子,里面的元素之间没有任何联系,比如说自然数集合,我们应该想像那是一个装了标了号的球(或者其他什么)的大袋子,球和球之间并没有什么联系,10并不一定非得在100的前面出现,如果你把口袋使劲抖抖,里面的球有些翻上来有些被压到底下去,但这并不改变这个集合——这仍然是自然数集合。
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