每日一练：2015德阳二诊数学真题_题型归纳

每日一练：2015德阳二诊数学真题

导读：查字典数学网小编末宝这么苦口婆心的叨逼叨逼，相信还是很多小伙伴不会行动去每天深入研究一题数学题。为此，小编末宝决定每天来一个真题分析，并分析相关知识点，这样举一反三想必会事半功倍哦。

[2015·德阳二诊]已知函数f(x)=xln x-x+2(1)x2-3(1)ax3，f′(x)为函数f(x)的导函数.

(1)若F(x)=f(x)+b，函数F(x)在x=1处的切线方程为2x+y-1=0，求a、b的值;

(2)若f′(x)≤-x+ax恒成立，求实数a的取值范围;

(3)若曲线y=f(x)上存在两条倾斜角为锐角且互相平行的切线，求实数a的取值范围.

解 (1)F(x)=xln x-x+2(1)x2-3(1)ax3+b，

F′(x)=ln x+x-ax2，

∵切点为(1，-1)，切线斜率为k=-2，

∴F′(1)=-2(F(1)=-1)⇒2()⇒2(1)，

故a=3，b=2(1).

(2)f′(x)=ln x+x-ax2，

f′(x)≤-x+ax恒成立⇔当x>0时，a≥x2+x(ln x+2x)恒成立.

令G(x)=x2+x(ln x+2x)(x>0)，则a≥G(x)max，

G′(x)=(x2+x)2((x2+x)-(ln x+2x)(2x+1))

=-(x2+x)2((2x+1)(x-1+ln x))，

令g(x)=x-1+ln x(x>0)，g(x)在(0，+∞)递增，且g(1)=0，

∴当x∈(0,1)时，x-1+ln x<0，G′(x)>0，

当x∈(1，+∞)时，x-1+ln x>0，G′(x)<0，

∴G(x)在(0,1)递增，在(1，+∞)递减，

∴x=1时，G(x)max=1，

∴a≥1.

(3)f′(x)=ln x+x-ax2，令g(x)=f′(x)=ln x+x-ax2(x>0)，

g′(x)=x(1)+1-2ax=x(-2ax2+x+1).

令h(x)=-2ax2+x+1(x>0)，

当a≤0时，h(x)>0，

∴g′(x)>0，g(x)在(0，+∞)递增，不适合.

当a>0时，h(x)的Δ=1+8a>0，设方程h(x)=0的二根为x1、x2，则x1·x2=-2a(1)<0，不妨设x1<0

∴当x∈(0，x2)时，g′(x)>0，

当x∈(x2，+∞)时，g′(x)<0，

∴g(x)在(0，x2)递增，在(x2，+∞)递减，

∴g(x2)>0(+x2+1=0)⇒>0(2)②(①)

由①得：ax2(2)=2(x2+1)代入②整理得：

2ln x2+x2-1>0③

∵函数u(x)=2ln x+x-1在(0，+∞)递增，u(1)=0，

∴由③得：x2>1，

由①得：2a=2(2)=2(1)2-4(1)，

∵0<1/x2<1,

∴0<2a<2。

同学们要做到分类有据，不重不漏，方能正确解答题目。更多数学资讯，尽在查字典数学网。

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