9乘以什么整数，可得到仅用1组成的数?_趣味数学

遇到一个很有意思的题目。

999999999乘以什么整数，可得到仅用1组成的数?即形为111…11的数。

999999999这个数很大。我们可以先分析一些简单的情形：

9乘以什么整数，可得到仅用1组成的数?

我们很熟悉，九九八十一，毫无疑问要求的数，其个位数必然为9。那么十位数是多少呢?可从9开始尝试。

9*99=891尝试失败!

9*89=801尝试失败!

9*79=711尝试成功!可确定十位数必为7，无需再试其他。

9*579=5211已经有7和9，会不会是等差数列呢?试试5，失败。

9*679=6111试试6，成功!

9*5679=51111试试5，成功!接下来可以直接试试

9*12345679=111111111接下来直接试试，成功!

尝试至此，想起有趣的“缺8数”。自然数12345679被称为“缺8数”，它有许多奇妙的性质。如果早想起缺8数，那就可以直接写出结果了。

我们已经通过计算验证12345679是符合要求的。接下来的问题是，如何从数学上加以说明。还需要论证所找到的这个结果是唯一存在的。也许12345679前面还可以加一串数呢?

设所要求的数为x，则9x=111…11。

列出等式是容易的，但问题是中间有省略号，无法运算。唯一可以肯定x的个位数为9。那么充分利用这个条件，继续前进。

设要求的数为10y+9，则9(10y+9)=111…11,可知y的个位数为7。再设要求的数为100z+89，则9(100z+89)=111…11,可知z的个位数为6。继续下去，我们每一次都可以求出一位数来，直到得到12345679。

此时再设100000000m+12345679，则9(100000000m+12345679)=111…11，可知m的个位数为0。

设1000000000n+12345679(注意此处省略12345679前面的0)，则9(1000000000n+12345679)=111…11，可知n的个位数为9。

至此可大胆猜测12345679012345679也符合题意，经验算确实如此。更大胆的猜测，设A1=12345679，A2=12345679012345679，A3=12345679012345679012345679……符合题意的数有无数多个。

此题虽然只是道趣味题，但也充分反映了解题的一些基本思路。

将9换成原题目中的999999999，经类比加验算，发现符合要求的最小的数是1…12…23…3…8…89(1,2,3,4,5,6,7是9个,8是8个，9是1个)。第二小的是1…12…23…3…8…8901…12…23…3…8…89。即两个最小数中间夹一个0。以此类推。

先从999999999退一步，用9来作尝试。然后用计算，来猜测出结果。接着从数学角度分析，在不能直接解出的情况下，抓住极其有限的条件，一步一个脚印的前进，逐个攻破。最后通过类比推理，大胆猜想，得到题目的全部答案，并又返回到原题目。

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