人教版高二《对数函数的导数及应用》数学教案
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25 对数函数的导数及应用
一、课前准备:
【自主梳理】
1. , .
2. , .
3.已知 ,则 .
4.已知 ,则 .
【自我检测】
1. 函数 的单调减区间为____ __.
2.直线 是曲线 的一条切线,则实数b= .
3.曲线 上的点到直线 的最短距离是 .
4.已知函数 ,则 在区间 上的最大值和最小值分别为
和 .
5.已知函数 , .若函数 与 在区间 上均为增函数,则实数 的取值范围为 .
二、课堂活动:
【例1】填空题:
(1)函数 的单调递增区间是 .
(2)点 是曲线 上任意一点,则点 到直线 的距离的最小值是 .
(3)若函数 在定义域内是增函数,则实数 的取值范围是 .
(4)已知函数 ,则曲线 在点 处的切线方程为__________。
【例2】已知函数 .
(Ⅰ)若 ,求曲线 在点 处的切线方程;
(Ⅱ)求 的极值;
(Ⅲ)若函数 的图象与函数 的图象在区间 上有公共点,求实数 的取值范围.
【例3】已知函数 .
(Ⅰ)若曲线 在 和 处的切线互相平行,求 的值;
(Ⅱ)求 的单调区间;
(Ⅲ)设 ,若对任意 ,均存在 ,使得 ,求 的取值范围.
三、课后作业
1.已知函数 ,则函数 的单调增区间为 .
2.已知函数 的图象在点 ( 为自然对数的底数)处的切线斜率为3.则实数 的值为 .
3.已知函数 ,则曲线 在点 处的切线方程为 .
4.已知函数f(x)=x2-x+alnx,当 时, 恒成立,则实数 的取值范围为 .
5.已知函数 且 ,其中 、 则m的值为 .
6.若f(x)= 上是减函数,则b的取值范围是 .
7.设函数 若直线l与函数 的图象都相切,且与函数 的图象相切于点 ,则实数p的值 .
8.已知定义在正实数集上的函数 , ,其中 .设两曲线 , 有公共点,且在该点处的切线相同,则用 可用 表示为_________.
9.已知函数 .
(Ⅰ)若 ,求曲线 在 处切线的斜率;(Ⅱ)求 的单调区间;
(Ⅲ)设 ,若对任意 ,均存在 ,使得 ,求 的取值范围.
10.设函数 ( ), .
(1) 若函数 图象上的点到直线 距离的最小值为 ,求 的值;
(2) 关于 的不等式 的解集中的整数恰有3个,求实数 的取值范围;
(3) 对于函数 与 定义域上的任意实数 ,若存在常数 ,使得 和 都成立,则称直线 为函数 与 的“分界线”.设 , ,试探究 与 是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.
四、纠错分析
错题卡 题 号 错 题 原 因 分 析
参考答案:
【自我检测】
1. 2.ln2-1 3. 4. 和 5.
二、课堂活动:
【例1】(1) (2) (3) (4)
【例2】解:(Ⅰ) ∵ ,∴ 且 .
又∵ ,∴ .
∴ 在点 处的切线方程为: ,即 .
(Ⅱ) 的定义域为 , , 令 得 .当 时, , 是增函数;当 时, , 是减函数;∴ 在 处取得极大值,即 .
(Ⅲ)(i)当 ,即 时,由(Ⅱ)知 在 上是增函数,在 上是减函数,∴当 时, 取得最大值,即 .又当 时, ,当 时, ,当 时, ,所以, 的图像与 的图像在 上有公共点,等价于 ,解得 ,又因为 ,所以 .
(ii)当 ,即 时, 在 上是增函数,∴ 在 上的最大值为 ,∴原问题等价于 ,解得 ,又∵ ∴无解.
综上, 的取值范围是 .
【例3】解: .
(Ⅰ) ,解得 .
(Ⅱ) .
①当 时, , , 在区间 上, ;在区间 上 ,
故 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 .
②当 时, , 在区间 和 上, ;在区间 上 ,
故 的单调递增区间是 和 ,单调递减区间是 .
③当 时, , 故 的单调递增区间是 .
④当 时, , 在区间 和 上, ;在区间 上 ,
故 的单调递增区间是 和 ,单调递减区间是 .
(Ⅲ)由已知,在 上有 .
由已知, ,由(Ⅱ)可知,①当 时, 在 上单调递增,故 ,所以, ,解得 ,故 .
②当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减,故 .由 可知 , , ,所以, , , 综上所述, .
三、课后作业
1.(1,+∞) 2. 3. 4. 5.m=1
6.(-∞,-1) 7.p=1或p=3 8.
9.解:(Ⅰ)由已知 , .故曲线 在 处切线的斜率为 .
(Ⅱ) .
①当 时,由于 ,故 , ,所以, 的单调递增区间为 .
②当 时,由 ,得 .在区间 上, ,在区间 上 ,
所以,函数 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .
(Ⅲ)由已知,转化为 . .
由(Ⅱ)知,当 时, 在 上单调递增,值域为 ,故不符合题意.
(或者举出反例:存在 ,故不符合题意.)
当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减,
故 的极大值即为最大值, ,
所以 ,解得 .
10.解:(1)因为 ,所以 ,令 ,得: ,此时 ,则点 到直线 的距离为 ,
即 ,解之得 .
(2)解法一:不等式 的解集中的整数恰有3个,
等价于 恰有三个整数解,故 ,
令 ,由 且 ,
所以函数 的一个零点在区间 ,
则另一个零点一定在区间 ,故 解之得 .
解法二: 恰有三个整数解,故 ,即 ,
,所以 ,又因为 , 所以 ,解之得 .
(3)设 ,则 .
所以当 时, ;当 时, .因此 时, 取得最小值 ,则 与 的图象在 处有公共点 .
设 与 存在 “分界线”,方程为 ,
即 ,由 在 恒成立,则 在 恒成立 .所以 成立,因此 .
下面证明 恒成立.
设 ,则 .
所以当 时, ;当 时, .
因此 时 取得最大值 ,则 成立.
故所求“分界线”方程为: .
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