解：因为N=12m=m=3×22×m，

所以m应为3p，且p为完全平方数，

又1≤m≤2011，2011÷3=670…1，

即1≤p≤670，

262=676≥670，

所以p的范围是1到25．

所以，这样的 N有是25个．

答：这样的 N有25个．

所以答案是：25．

若自然数 N=（1≤m≤2011）是一个完全平方数，即12m是个完全平数，又N=12m=3×22×m，所以m应为3p，且p为一个完全平方数，即N=12×3p，又1≤m≤2011，则N的个数取决于p的取值范围，因此，根据m的取值范围求出p的取值范围即可．