巧借辅助线解决梯形问题
梯形没有平行四边形、矩形等特殊四边形那么多性质,所以有关梯形的证明、计算题,常有一定的难度,如果能巧借辅助线,则能有效地化难为易。
一、移腰
1、移动一腰
例1 梯形两底长分别为14cm和24cm,下底与腰的夹角分别是60°和30°,求较短腰长。
解析:如图1,在梯形ABCD中,AD//BC,AD=14cm,BC=24cm,∠B=60°,∠C=30°。过点A作AE//DC交BC于E 初中政治,得到平行四边形AECD和△ABE,故AE=DC(相当于将腰DC移到AE的位置),AD=EC(相当于将上底AD移到下底上,BE为两底之差),∠C=∠AEB=30°(相当于将∠C移到∠AEB的位置)。
图1
这样,梯形的两腰,两底之差,下底与腰的两个夹角都集中于Rt△ABE中,于是得到较短腰。
2、移动两腰
例2 如图2,梯形ABCD中,AD//BC,E、F分别是AD、BC的中点,且EF⊥BC。
求证:∠B=∠C。
图2
分析:过点E作EM//AB,EN//DC,分别交BC于点M、N。梯形两腰、下底与腰的两个夹角集中于△EMN中,由E、F分别是AD、BC的中点容易得到,又由EF⊥BC,得EM=EN,故∠EMN=∠ENM,所以∠B=∠C。
二、移对角线
例3 如图3,已知梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,对角线AC、BD互相垂直,梯形的两底之和为8。求梯形的高与面积。
图3
解析:过点D作DE//AC交BC的延长线于点E,过点D作DM⊥BC于点M,这样得到平行四边形ACED,所以AC=DE(相当于将对角线AC移到DE的位置),AD=CE(相当于将上底、下底移到一起,BE为两底之和)。由AC⊥BD,得BD⊥DE。
这样将两对角线,两底和,两对角线夹角集中于△BDE中。容易得到DM为等腰直角△BDE的BE边上的高,所以,即梯形的高为4,故。
三、移底
例4 如图4,梯形ABCD中,AB//CD,E为腰AD的中点,且AB+CD=BC。
求证:BD⊥CE。
图4
分析:延长CE交BA的延长线于点F,因为点E为AD的中点,可得△DCE≌△AFE,故CE=FE,CD=AF,由AB+CD=BC,得BC=BF,故BE⊥CE。
例5 如图5,在梯形ABCD中,AB//CD,且AB>CD,E、F分别是AC和BD的中点。
求证:。
图5
分析:连接DE并延长交AB于点G,易得△AGE≌△CDE,故DC=GA,DE=EG,从而得。
四、作高
例6 如图6,在梯形ABCD中,AB//CD,两条对角线AC=20cm,BD=15cm,梯形高为12cm,求梯形ABCD的面积。
图6
解析:此题有两种解法。
法一:如图6,分别过点C、D作CE⊥AB于点E,DF⊥AB于点F,得矩形DCEF,在Rt△ACE中,AC=20cm,CE=12cm,可得AE=16cm。同理BF=9cm,显然BF+AE=AB+CD=25(cm),可求梯形面积为。
法二:如图7,过点D作DE//CA交BA的延长线于点E,过点D作DF⊥BA于点F,在Rt△DEF中,DE=AC=20cm,DF=12cm,由勾股定理可得EF=16cm。同理,FB=9cm,所以AB+CD=AB+AE=EF+FB=25(cm),进而求得梯形面积为。
图7
小结:通过添加辅助线,将梯形问题转化为特殊平行四边形和特殊三角形问题,从而解决问题。添加辅助线的规律可归纳为以下几点:
1、当两腰(或对角线)具备特殊关系时,移腰(或对角线),构造等腰三角形或直角三角形。
2、当涉及面积时,作高,构造直角三角形。
3、当涉及腰(或对角线)的中点时,可添加辅助线构造全等三角形。
4、当涉及两底的和或差时,可灵活利用上述3点,将两底移到同一直线上。
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