圆与圆位置关系中常见辅助线的作法_名师指点

圆与圆位置关系中常见辅助线的作法

圆与圆位置关系是几何的一个重要内容，也是中的难点，本文介绍圆与圆的位置关系中常见的五种辅助线的作法。
1. 作相交两圆的公共弦
利用圆内接四边形的性质或公共圆周角，沟通两圆的角的关系。
例1. 如图1，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A、B分别作直线CD、EF，且CD//EF，与两圆相交于C、D、E、F。求证：CE＝DF。

图1
分析：CE和DF分别是⊙O1和⊙O2的两条弦，难以直接证明它们相等，但通过连结AB，则可得圆内接四边形ABEC和ABFD，利用圆内接四边形的性质，则易证明。
证明：连结AB
因为
又
所以
即CE//DF
又CD//EF
所以四边形CEFD为平行四边形
即CE＝DF
2. 作两相交圆的连心线
利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形，解决有关的计算问题。
例2. ⊙O1和⊙O2相交于A、B两点初三，两圆的半径分别为和，公共弦长为12。求的度数。

图2
分析：公共弦AB可位于圆心O1、O2同侧或异侧，要求的度数，可利用角的和或差来求解。
解：当AB位于O1、O2异侧时，如图2。
连结O1、O2，交AB于C，则。分别在和中，利用锐角三角函数可求得

故
当AB位于O1、O2同侧时，如图3

图3
则
综上可知或
3. 两圆相切，作过切点的公切线
利用弦切角定理沟通两圆中角的关系
例3. 如图4，⊙O1和⊙O2外切于点P，A是⊙O1上的一点，直线AC切⊙O2于C，交⊙O1于B，直线AP交⊙O2于D。求证PC平分。

图4
分析：要证PC平分，即证
而的边分布在两个圆中，难以直接证明。
若过P作两圆的公切线PT，与AC交于T
易知
由弦切角定理，得
又是的一个外角
所以
又
从而有
即PC平分
4. 两圆相切，作连心线
利用连心线经过切点的性质，解决有关计算问题。
例4. 如图5，⊙O1与半径为4的⊙O2内切于点A，⊙O1经过圆心O2，作⊙O2的直径BC，交⊙O1于点D，EF为过点A的公切线，若，求的度数。

图5
分析：是弦切角，要求其度数，需将其转化为圆周角或圆心角，因此连结O1O2、O1A，则O1O2必过点A，且O2A为⊙O1的直径，易知。
连结DA，则
于是
又为锐角
所以
从而有
5. 过小圆圆心作大圆半径的垂线
有关公切线问题常过小圆的圆心作大圆半径的垂线，构造直角三角形。
例5. 如图6，⊙O1与⊙O2外切于点O，两外公切线PCD和PBA切⊙O1、⊙O2于点C、D、B、A，且其夹角为，，求两圆的半径。

图6
分析：如图6，连结O1O2、O1A、O2B，过点O2作，构造，下面很容易求出结果。
请同学们自己给出解答。
（答案：两圆的半径分别为3和1）